II. — La forme cubique

87. Étudions le système formé par les (x) et une forme cubique

Le premier invariant après /est le hessien J2(/, /) de/; en le divisant par 2, nous l'écrirons

H =(a0«2— a\ )x\ -+-(a0as — «i «2)^1^2 ■+■ (#i#3 — a\)x\ '■>

H = o définit les éléments doubles de l'involulion déterminée par

la première polaire de /, axy; chacun de ces éléments admet

l'autre compté deux fois ou une fois, comme premier ou second

système polaire par rapport à /.

On a aussi

H = Ls(a:aCi))i(art)a(i))i;

à cause de l'identité S(xa(1))(a,2,fl(3,)=o, la condition H = o peut s'écrire encore

Oa<2>)2(«(1)«(3>)2 — (^a(2,)(^«(3))(«(1)«<2,)(«(1)«(3,) + (^«<3,)'2(«(1,«(2))2==0'

d'où (^a(1)«(2)rt(3)) = — u, w désignant une racine cubique imaginaire de l'unité; H = o définit donc les deux éléments qui forment avec («(l)), («(2)), (V/(3)) une proportion équianharmonique.

Un autre invariant est le hessien de H; nous poserons