III. — La forme biquadratique

92. Considérons le système formé par les variables (x) et une forme biquadratique

y = aX' = a0x\-\- \axx\ x2-\- Ç>a2x\x\ -f- ^a^xvx\-\- a%x\

= (xa'^)(xa'^)(xa^)(xa^)

Les invariants suivants constituent avec y un système complet : i° Le hessien de y* d'ordre 2; nous écrirons

-h(a0«i + 'i«i«3 — 5a\)x\ x\ -+• 2(«ia4 — a2a3)xlxl -h(a2a4 — a\)x\\ •2° L'invariant proprement dit d'ordre 4,

3° Le jacobien de/ et de H, d'ordre 3 ; nous ferons

J = a J( y, H) = («oa3 — 3ao#ia2+ 2at )a??

-4- («5 at + îa0«] «3 — 9 «o^l -+- §a\a{)x\x-i -f- (5 a0«i «4 — i5«o«2«3-t- io«j a^)x\x\ -+-( — ioa0a| -+- ioaf av)a?Ja?.^ +■. . . ,

où l'on achève par symétrie, en remarquant que J est un invariant uche ; 4° L'invariant proprement dit d'ordre 6,

gauche ;

J ' '- 5 J4(/> H) = a0a2at — a| -H 2 «i a2 a3 — rt0«| — a^af

Ces cinq invariants sont liés par une relation que nous indiquerons plus bas.

An. — I. 7

f)8 LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

93. Avant d'aller plus loin, indiquons la forme canonique de f\ ce sera, d'après le n° 86,

/ = (*"V- > ' •-•>'■ -'a, a. j — » X riant déterminé par l'équation

a0 "i "j — AI

mu bien

h* — ià — ij = o,

.|«' sorte que l'on retrouve ainsi lr> invariants i et y.

Les racines /././. de cette équation -<>ni des invariants d'ordre -

Nous pourrons prendre par suite, pour for cai [ue gêné-

Il I ( ' M ' ' /

■ et l'on aura alors

Il ,i ,i , , .■ ■' " . '• ■' ■ * -" " . " . •

de |>lu>. pour cette forme, les racines <\<- l'équation canonisante sont

ilf. En faisant usage des formules canoniques qui précèdent, du vérifie facilement \r< identités

J*(/, Il I if, i /■ Il o, i II. Il j // I«H,