Ceci nous amène à considérer le faisceau de formes

si l'on envisage la forme cubique en (a) obtenue en remplaçant

ii • i 2 /Xi /. ■ , i3

dans la canonisante A par -4; — et taisant A- = — j-^> soit

?=Xf-/).,À| + AX^

les racines de cette forme sont comme k des invariants absolus géométriques. On trouve alors, en appelant 7] et 8 le bessien et l'invariant cubique de cette forme cp, et posant

i do ?1=3 5XÎ'

i <fcp

cp.-. = — — — ,

f2 3 dJU*

les relations

3 zy2

A ' et l'on a aussi la relation

qui est celle qui existe entre les invariants de la forme cubique a. Le hessien de H, en particulier, est 3//' — y H à un facteur près; pour une forme y de degré /i, le hessien H( du hessien H de cette forme est évidemment un invariant de la quatrième polaire de y et des (x), lorsque, profitant des propriétés des fonctions homogènes, on n'y laisse subsister que les dérivées du quatrième ordre; alors on vérifie sans peine que l'on a, à un facteur près, pour H,„ l'expression nécessaire (2/* — ■ 5)//' — y H, i et y étant les inva-

riants proprement dits de la quatrième polaire de f considérée comme forme biquadratique par rapport aux ( r).