CHAPITRE VII. — FORMES CANONIQUES, FORME CIBIQUE, ETC

on a aussi, comme au n° 88,

Pi "*- P» = P'» pi— 2p2=p", p2— 2pi=p'",

Pi — Pi Pa-+- Pi = — ^ [(pi+p«)(Pi — aPt) + (Pi-HP«)(Pt— api")

+ (pi— ap2)(p2 — api)]

(pi -t- P«)(pi— aps)(p2— api)= p'p"p'"= —432./- L'équation cherchée est donc

(pi+p3)s(p,-2?2)*(pa — apip 4(pf-piP2+pl)3

une identité connue donne aussi par suite

PîpKpi— p2)2= n(a«) a« )2 = a56(i3- 27/2 ),

de sorte que le discriminant defesl, à un facteur près, l'invariant is — 2772l c'est aussi Je discriminant de la canonisante. Sur la forme canonique, la valeur de cet invariant est

i = o ety' = o sont respectivement les conditions pour que les quatre racines de /* forment une proportion équianharmonique ou harmonique. Le rapport anharmonique des quatre racines de/' dépend de l'invariant ahsolu géométrique k.

98. La forme canonique que nous avons employée est réalisable de trois façons différentes quand is — 'ir]j2 n'est pas nul, puisque alors l'équation canonisante a, comme/, ses racines distinctes. En même temps, toutes les formes du faisceau !,/'/' -f- X2/H sont réduites à la forme canonique.

Voici les divers cas particuliers possibles :

i° Si /* a une racine quadruple, H est nul identiquement, et réciproquement; tous les autres invariants sont aussi nuls. La forme canonique de y est d0x*.

2° Si y a une racine triple, on peut lui donner la forme canonique

alors on ;i

i=j=o. W = -a'fx'f, 3'=2a\Kr\':

réciproquement, ce cas est caractérisé par les conditions i =J= o. 3° Si f a deux racines doubles distinctes, c'est-à-dire est un carré parfait, on peut écrire par exemple

alors

ï^la'*, /=— a',*, Il — 3a #, Jr=0;

et, par suite,

27y« = o, ly/- </ll - ... i»/— |S./ •' ";

réciproquement, / el / D'étant pa» nuls, ce ca» esl caractérisé par IY'\ anouisscment identique de J, le •>/./* 2lH, OU de

/-'/'-- i 8/ H ; la condition la plus simple à employer esl

;.//'- ./il - ...

j Si y a une racine double unique, on a simplement

on peul employer la forme canonique ordinaire, possible d'une seule façon, avec aK ...

On retrouvera les résultats précédents en appliquanl ce que noib avons .lit sur les racines multiples d'une forme en général,

99. Voici commenl on peul, dans le cas général, exécuter la réduction à la forme canonique qui correspond à une racine X' de l'équation canonisante. Pour cette forme canonique, / devienl — '>.".. el l'on a

donc l.i forme 2 H •+- \'f est, ainsi que non- lavons déjà fail remarquer, un carré parlait: el d'ailleurs celte forme el les deux analogues sont les seules formes du faisceau A,//'—"/.., /Il qui jouissent de celle propriété. Nous écrirons

-'', et x\2 sont les facteur» linéaires de h'. Introduisons alors les