CHAPITRE VII. — FORMES CANONIQUES, FORME CUBIQUE, ETC

variables (y), et considérons la polaire h', que l'on trouve

égale à ^rr-'i calculons aussi l'invariant de k' : sur la forme cano-

iiy.

nique, sa valeur est

et par suite, en général,

Posons donc

x'2=#'*y*-(xy)\/- l (X'-X")(X'-X'")^;

le déterminant de la substitution ainsi définie pour passer des (x)

aux (.«') est

'■^\/-L20'-V)(l'-lm)^

X' est un invariant d'ordre 2 qui devient — id2 pour la forme canonique; donc d'abord

se servant ensuite des autres invariants comme nous avons déjà fait souvent, on a sans ambiguïté

< \ T j 1 vg'y" + ir6 /

«;| 2^ j * 2 (X'-x")(X'-x'") - ^kv-x^cX'-x")^!"

Si l'on ne veut employer que )/, on remarquera que (X'— Xff)(X'— X'") = 3X'2-i.

100. Enfin, décomposons directement y en facteurs linéaires. On a

a H -+- Vf = g '= h'*, 2 H -+- À "/ = #" = #'2 , 2 H h- X'V = .?'" = A'"2

d'où

(X'— y')f = (h'-+-hm)(h' — h" .

(X""— X')/=i ]r-h'){iï"—i>

et l'on a ainsi d'abord, de trois façons différentes, la décomposition de/ en facteurs quadratiques.

1i' — h" et h! — li '". par exemple, ont un facteur linéaire commun : sans quoi A'— A* et h! — h "auraient les mêmes facteurs, ainsi que W — h" ri h' — li , hypothèses absurdes; le facteur linéaire commun à A'— // et li — h esl la racine carrée de leur jacobien el est un facteur Linéaire de/. On a d'ailleurs

de plus, d'après ce qui a été dit, .1 ■//''. h ') doit être proportionnel à li et, en fait, sur la forme canonique, on trouve

les carrés dès facteurs linéaires de/sont donc

±(X'— lm)h'dbCkm- À'. A / — ) ,A ,

et ces facteurs eux-mêmes peuvent s'écrire, d'après ce qui a été <lit plus haut,

Vé vé \ -

les radicaux ayant des signes arbitrai] i s. Si l'on fait

à" Té -

on a exactement

\"yl '•— 'T./1)

Cette formule de résolution de l'équation du quatrième deiii • devient illusoire quand /a des racines multiples.

On peut la modifier de façon à lui enlever cet inconvénient et, en même temps, à la simplifier.

En remplaçant, en effet, a'. à", /. '" par leurs valeurs tirées des