Nous avons
f = aj x'f -4- a2 x'f -+- x3 x'3s
On en déduit sans peine
72= ïJ*(/l/)
*3= — J2(/, g,2) = «i«2«3Sa7i3 = 3a,a2a3a?'1;r2a/.j (c'est l'invariant canonisant);
/,= aJ(/, gr2)=2a2(a2— «a)*?',*
— at a2 a3(a7'2 — x'A ) ( a?'3 — ^', ) ( a?', — .r'2 ) S x\ x'3 ;
m,= 2J(/, h.2) = 2aKa2a?'22- «3^32)^i7
** = — 2J2(^2, gr2) = (-a2*3)2— 4a1a2a3Sai; ^i= — J2(/, *3) = ataîasSa.!^4; /»* = — J(/, h)= tz1aiix3ï.a1a;'1s(a;'2 — x'3);
h= *- J4(/, <?*) = aia2x3Ia2a3a"'i;
«5= J3(/> #4) = a.l«.ia3'E.ai>x3x'ix'i(x'2 — x'a)\ ks = J (/, gk ) = a, a2 oc3 £a2 a3a;'23 a?'33 (ic'2 — a?3) ; qi=-3\h, *i) = aîa5aJ2a/1«; ^6 = — J (./', /5 ) = «i «2 a3 2af ( a2 — «3 ) x'f ;
^7 = — J4(/> se) = aia2a32a1(a2 — a3)(— a2a3-f- a3a,-f- ai«2 )./•',: fi= Hf,q6) = *loLl*lZaix'f(x'l — x'i);
«8= ^J*(^4, ^4) = afala|2a2a3; ^8=-J(^3, /5) = a2ala|vai(a2 a3)^i2.
f9 = — J(/3, gr6) = tf<zlal(x'.2 — x'3)(x'3 — x\){x\ — x'., ); hi= — i-(t3, qt) = a? a|a*Sx,(aj— a3)a?i;
*i3 = — tj [J(/5, qs) -4- kh] = 0L\a^a^aix'i\
'18= — Hh, lis) = af a|a|(a2— a3)(a3 — *i)(cti— a2)-
On a ainsi le système complet de la forme quin tique et des (x) : il est composé de vingt-trois formes, liées par des relations qu'il serait facile de développer.
103. Les invariants précédents peuvent être retrouvés de bien des façons : nous ne signalerons que quelques applications. Pour former le discriminant de f, il faut éliminer les (#') cuire les
équations
a ,.r',v = a2.r'.,v = a3j"':tv.
et
d'où le résultant
Si a,«j •.
ou -"us forme rationnelle
i| — ia8t8.
On pourri de même exprimer, à l'aide des invariants fondamentaux, le> invariants qui, égalés à zéro, expriment que la forme fa des racines multiples, de toutes les façons possibles.
On peut considérer z<, x2, xa comme les racines de l'équation
et par suite, on a facilemenl
telle esl la relation qui existe entre les invariants propremenl dits de/.
Le résultanl de f el de /. esl /,Nir — 3«$); donc on pourra résoudre l'équation /= o algébriquement dès que l'un des facteurs de ce résultanl sera nul.
Remarquons enfin que le procédé qui nous a servi pour étudie] la forme quintique pourrait servir, convenablement généralisé, dans beaucoup d'autres cas.
