I. — La forme linéo-quadratique

104. Dans ce Chapitre, nous allons étudier les deux formes les plus simples, après la forme bilinéaire, parmi celles qui contiennent deux séries de variables (x) et [y) : la forme doublement quadratique offre un intérêt tout particulier, comme nous le verrons parla suite.

Soit d'abord une forme linéo-quadratique

f = (a0xl -+- 2fl1ï|X24- a2x\ )jKi -t-(b0x\-\- ■2.bix1x2-t- b2x\ )r2 ;

on peut envisager cette forme comme établissant une correspondance entre les éléments (x) et(j^) de deux séries X et Y, telles qu'à chaque élément (x) corresponde un seul élément (y), et à chaque élément (y) correspondent deux éléments (x), et l'on voit tout de suite que les divers couples d'éléments (.r) qui correspondent aux divers éléments (y) sont les couples d'une involution.

Si les séries X et Y constituent des espaces distincts, les invariants multiples de y* sont seuls intéressants; ce sont : i° la forme f elle-même ; 2° le résultant R des deux formes quadratiques a0x'\ h- 2«, X\ x2-\- a2x2, et b^x\ -+- i bK x, x2 + b.2xi ; 3° le jacobien de ces deux formes, dont la signification géométrique est immédiate; 4° le discriminant de la forme /", considérée comme ne dépendant que des (x), et dont la signification est évidente aussi.

Au surplus, si le résultant R n'est pas nul, on peut ramener /'à la forme canonique simple

il l'on en peut déduire une relation simple entre rapports anliarmoniques faciles à définir.

10-j. Supposons maintenant les séries X et Y coïncidantes, el rapportées aux mêmes coordonnées. Les invariants précédemment définis subsistent; ce sont avec y':

I; 4(a0as — a\)(b0bt — b\) — («<>&! "../.„— •..", &, >-.

.1 (a0bi — alb0)x\-h(a9bi — /.A, /,/-, {aibi—aibi)xl,

D =(aQat— a})x\-t- i >■■ ":''„ — a«i bt |. '• i ■'■:• — ( b0 f>, — b\)a

ce dernier étant exprimé à L'aide des i

L'invariant simultané de .1 el I) donne encore

Il ,„„/,, i . ./,, -6})+(at6j - atbt)(a0at — a]

Si dans / on fait les »aux aux i . on a

et, par suite, un nouvel in\ arianl

le résultant de J\ el g sei a

el le jacobien de I el g sei a

A fa "„//, ^l//,,l-Al a a 6 -/./.. 60— ax)\xx

-t-[(a06j — '/./>., (6f a 2(atbt — n.l, .,/,,. a,)]arj.

Les invariants indépendants R, II. K. r\ A forment un système fondamental simple pour le système formé de^el <\r^ i . Si I on prend la foi me canonique

/ = (a i i ..r,- ../,' r',« b'tx't*)jr's,

possible si \\ -£ o, on aura

l; -(a'9b\ — a'tb\ H -^WW — a'tb',

K'=a'0a'i-+-b'*b'i ta'fb b'0x\ — a'ta h' - ~-(a'J>', — <i'Jj[ b . ■• ",'