Soit la forme

f — {a^x\ -+- iaxx^x2-\- a2x\ )y\ -f- -i^o-^i -+- 261^X2+ b2x\ )y\)'i + (c0a7f -4- iC\X\X%-\- c2x\)y\ ;

égalée à zéro, elle définit une correspondance entre les éléments (x) et (y) de deux séries X et Y, telle qu'à chaque élément de l'une des deux séries correspondent deux éléments de l'autre. Nous supposerons d'abord distincts les espaces X et Y, de sorte que les invariants multiples de f soient seuls à considérer.

Regardons successivement /comme ne dépendant que des [y) ou des (#); nous obtenons d'abord comme invariants les deux discriminants

d{ = (tto^j -+- ■i.aiXiX-y-h a2x\)(c0x\-^ %ciXiXi + c2x\ )

— (bQx\ ■+- 261X^2+ b2x\)2, d2 = (aQy\-+- zb0yiy<z-i- c0yl)(a2y\-h ib2y1y%-{- c%y\)

qui sont deux formes biquadratiques par rapport aux (x) et aux (y); si t/2 = o, l'équation /= o, où les (x) sont inconnues, a une racine double définie par

(a0a?i-H aix%)y\ -+- i{bQXi ■+- blx.2)j'iyî-h(c0xl-\- CiX2)yl = o, («!»!+ a2x2)y\ -+- i(bxxi -t- b%x^yxy%-^{cyxx-\- c2x2)yl = o,

de sorte qu'en éliminant les (y), on a le nouvel invariant g{ , qui égalé à zéro définit les (x) doubles correspondant aux racines de ch :

gx = [(a0ci)x\-+-(aQcî)xiXi-+-(alc2)xl)i

— ^[(a0bi)xl+(a0bi)xix.2 + (albi)xl][(b0ci)xl-i-(b0c2)xlxî-^{blc2)xl\,

où (ct0Ct) par exemple désigne le déterminant a0ct — atc0; des

considérations toutes semblables conduisent à L'invariant analogue

gi = [(a0b2)j] — a0 d > v, v, — (baes)yl\%

— ^[{a0bl)y\ + {a0c{)yiyi^{b0ci)y\][(albi)y\^(axc{)yiyt + {bici)y}j\.

Imaginons que d{ et ch soient réduites à la forme canonique, ce qui exige, comme on le voit tout de suite, en restant dans le cas le plus général, et désignant toujours les éléments transformés par des lettres accentuées

'/ 1 — ' ; /\, = b\ = o; on .1 alors

/=<">?- a .'■ a , -»-'sj ',.!•'.- "■;,■'•',-- • r.,-.

d\ =a ■■ ■ ho',1 \b\* r',«

,/. a a'tj • - \b\' (/,*;

' — I ( "u cj — «i ''!. >! — i A'i ' » ao c'i + a» ''«. 1 1

I >n voil que :, el r . sonl aussi réduites à la forme canonique. Considérons !<■ bessien A, de </, ; il appartienl à un même faisceau avec '/, el ffi : sur la forme canonique, on ;i

*i = ; ,/\ rfî ' ' ~i-

el l'on obtient ainsi I invariant proprement <lii

qui, en général, sérail

Cel invarianl est obtenu plus rapidement comme invariant J : nu a

3'2 V'Ar, (Ar2 (>JT| tAr,/ \^i " àyx ày^)

les puissances el produit indiqués étanl symboliques, et /' é tan I identique à /'.

I ii autre invariant proprement dit esl évidemment

a0 ax <i.