CHAPITRE VIII. — LA FORME LINÉO- Ql AlMtATIQLE, ETC. Il

ou, sur la forme canonique,

ï'3 = b\ («oC2 — «2co)-

Enfin considérons f et g2 comme des formes en {y), et formons i''(f'2, £':>); on reproduit dK à -.,- près, en désignant par ih un invariant proprement dit dont l'expression canonique est

et que des formules données plus bas permettent de calculer différemment.

107. Nous avons ainsi un système fondamental de sept invariants indépendants, en laissant la forme f de côté.

En fonction de ces invariants s'exprimeront facilement tous les autres. Nous remarquerons, à cet effet, que l'on a

et, par suite,

11 0 C 2 ~~ (l 2 C0 - : TT »

On est ainsi amené à considérer une équation canonisante

i6X«— 8i'2X*-+- ï'vX2— il = o,

dont les racines sont des invariants du second ordre et déterminent immédiatement les coefficients de la forme canonique, lorsque les nouvelles variables sont connues.

Calculons les invariants i et y des deux formes biquadratiques d, e\,d>; il est évident qu'ils sont les mêmes pour ces deux formes et, d'après les formes canoniques, on trouve sans peine

12 i = 4 i\ — 3 t'i , 21 6 y = 8 i\ -+- 5.{ i\ — 9 i> i\ . De même, les invariants correspondants des deux formes biquadratiques gK et g-2 sont i et y, déterminés par

La canonisante de d{ et <r/2 est

An. - I. .s

Il{ LIVRE I. — LA GEOMETRIE BINAIRE.

el l'on a

la canonisante de ""( et <?o est

~/.'i — jXj —2/ o, i-l l'on ;i

L<-> rapports anharmoniques des racines de '/, et rf2 son! donc

égaux entre eux el <!<■ la forme . .• en appelanl /. -. X -. /

les ir.ii> racines de l'équation «-;iii«»i>î—-iiii<' en a-': el les rapports anharmoniques correspondants des racines de g\ el l: ■

sonl

IOH. Envisageons maintenanl le cas "ù les séries X el ^ sont coïncidantes el rapportées aux mêmes coordonnées. I -•■> invariants précédemmenl définis subsistent, mais la forme canonique <'mployée ne peul être considérée comme générale.

Si. dans/", <»n fail les i égaux aux i . <>n a

el . par suite,

Cette forme bilinéaire conduil aux nouveaux invariants

/, ' 60— aj i./,' '-,, a ■ ./', /'.. fci — l

j\ = al—2bi -c0. y's i /' "i 'i 6j «s— i