CHAPITRE VIII. — LA FOIUIE LINÉO-QUADRAT1QUE, ETC. Il

Les invariants proprement dits «2, i-3, z*, j\,j\, j\ forment un système fondamental. C'est ainsi que les invariants I et J de la forme biquadtatique /', sont donnés par

12 1 = 12 4 — 3/2 — 2/ \ , 216 J = 21 6 13 — 9./3-T- 3G j2/i — • 8/1/2 — IO/i«

Si à la forme f on adjoint les variables (#), puis (y), on aura encore facilement des systèmes fondamentaux d'invariants.

109. Considérons le cas particulièrement intéressant où la forme y est symétrique par rapport aux (x) et aux (y)- On a alors

b0 — «1 = o, c0 — «2 = 0, Ci — fro = o.

Les invariants £, j>1 j\ sont nuls identiquement, et de plus

réciproquement, si l'on a cette identité, ou bien si A" est nul identiquement, la forme/" est symétrique.

La forme canonique des n"s 106 et 107 subsiste dans ce cas, avec c' =a'.,. On obtient alors la relation

et l'on en déduit d'abord

de plus on doit alors prendre comme équation canonisante

on vérifiera enfin que dans ce cas, si )/, )/', Xw sont les racines decette canonisante, de sorte que («(,)), (#-2)): (aW)î (a(,)) étant les racines de o?4, par exemple, on ait

Pi =(aii'a««aWJat«)= v!~yl>

et si de plus (&(,)), (&(2))' (^(3))' (^(40 sont les racines correspon-

IlG LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

dantes de g"2, on a

Ce dernier rapport anharmonique n'a donc ïi 1 1 — . i que six \ aleurs, comme Je premier, et non vingt-quatre, comme il arrive dans le cas général où f n'est pas symétrique. \n surplus, il n'est pas difficile, de même que dans les cas analogues, d'exprimer ce second rapport en fonction rationnelle du premier el des invariants de /. En effet, si l'on permute les racines /../../' d'uni- façon quelconque, les variable- cl 171 -oui échangées par les mêmes transformations linéaires. En ne considéranl que les (p), les fonctions

PÏ — Pipa (Pi '- ': • : ' • PiPj(Pi— pt)

restent invariables au signe près; il en est de même de leurs

polaire- par rapport an\ 7 | el de I }~ . de sorte «pie la fonclion

par exemple, esl complètemenl invariable et, par suite, s'exprime rationnellement en Fonction >\f^ coefficients <\r f.

IKK I .,1 forme y étant symétrique, soit (x) un élément : il lui correspond den\ éléments 1 en vertu de / o; l'un d'eux étant i ./ ' , il lui correspond de même deux éléments 1 y) dont l'un est (x) et l'autre (x(a 1; de même, à 1 xlii) correspondent, en vertu dey=o, (./ ' el ainsi <\<- suite. Ceci posé, cher-

chons les relations entre (x) el >/'J . (x) el (x ' . el ainsi de suite.

('.<■> relations sonl doublement quadratiques el symétriques

comme y, car 1 orresp lenl deux éléments (■/■'" 1, et à (x{ll)),

pris comme point de départ, correspondent deux éléments, dont l'un est (./) lui-même.

En appelant fa le premier membre de la relation qui lie (a; et [-: ; se servant des formes canoniques, on .1 d'abord

il était d'ailleurs facile de prévoir que pour (.r.r(2,) = o on devait