CHAPITRE VIII. — LV FORME LINEO-QUADRATIQUE, ETC

retrouver gt. Il serait de même aisé de déterminer à l'avance la forme à laquelle doit se réduire fn quand on y fait les(^(")) égaux aux (.r); il suffirait de partir, pour (.r), d'une des racines de fK ou de dK .

Appelons g la forme D^ c/, , de sorte que, pour les formules canoniques, on a

a' r' -+- a""- — \ h"1 a'0 a', r',2 + fl°Ci-T-«, ±^ ^

" 57 l" ~T~ Cl t\C z> X ,->~ 1 l^ O 1

et que l'on peut écrire, en remplaçant les (#(-)) par les (y),

/, = ( nii-sw +3/f)/+ 12 (i- ^) ,-+ («.- ^) (h+ |yï)c*r)*-

Le discriminant de la forme f2,' en général fn, considérée comme forme quadratique par rapport aux (y), coïncide manifestement avec dt ; donc, comme on peut écrire évidemment

les (x{"}) étant, bien entendu, remplacés par les (y), en exprimant la condition qui précède, on trouve sans peine, à l'aide des formes canoniques, la relation

*M^¥-âH*(S-'?)="

de sorte qu'il vient, en faisant et changeant les notations,

pour la forme canonique, on a d'ailleurs

h' — [ a'0 a'2 a?i2 -+- ct'2 ( «'2 — 2 ^ ) x '22 ]jk'i2

-+- ( a'0 c'2 — ct'22 -4- 4 a'2 6't — 4 &? )#i ^'2^1 JK2

-r- |>2 (a'2 — 26; Kr'j2 -+- a'2 c2 ^'22 ]/22.

!l8 LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

Pour n = 2,on a, d'après ce qui précède,

'-./l II

Ceci posé, il est évident que si l'on élimine les I s) entre les équations f,i(x, s o, f(y, z ". le résultant sera le produit ('ei/«-i Par//'+i* Nous pouvons, d'après cela, trouver une loi de récurrence pour déterminer les (<>„.

Pour faire le calcul simplement, faisons les - i > égaux aux (.f); il faut élimiurr ( ~ ' <Miin- / / . : :oelh X,z) — (o„:i./', ;r - o,

': Wl J\

en faisant p = — -f- -jj . < <-i exprimer que le résultanl est, à

un facteur près, le produit ! /', - oin tdt f\ \- (ofl+1 dt i. Or, <'n se servant des formes canoniques, le résultanl s'écril ci un me forme quadratique de J , el 'A

on a donc, par exemple,

t»%tl)„ -\">n I l6

Pour // '. relie i'< > III 1 tl I < - r>| i im | > | > I i. ,i 1 Je, c;ir mi 1 1 • > i I prendre

(o, = o : elle détermine simplement to2; m ;i i -> i>n a aussi

donc

II'

Quand to„ est nul,yrt coïncide avec / el ./ ■■"' ' .i\ec (#), toujours. Ceci arrive pour n - ■>. ,si/2- — j'\ o;pour/> 3, si /', :o;.... Si n = 3, l'équation canonisante a une racine X' qui est nulle; alors on a — — ( — \ , et le rapport anharmonique correspond.! ni des racines de gK est i : ces racines sont confondues deux à deux.