CHAPITRE VIII. — LA FORME LINÉO-QUADRATIQUE, ETC. 1 M

111. En général, les équations /" = o et /« — o onl quatre s\>tèmes de solutions communes, qu'il est facile de définir a priori, en partant, comme nous l'avons déjà dit, pour (x) d'une racine de /*, ou de dx .

Supposons d'abord en effet que (x) vérifie d{ = o; à cette valeur de (x) correspondent des valeurs uniques pour (.r(,)),

(xw), . . . , (>("')> ... ; soient («(0 ), (al°).- («(2))' • • • j («("')> ■ - • ces valeurs successives. Soit n impair, égal à in' — i, et choisissons, comme valeurs de (x) et (#(,)), {a{"' ) et (a'"'-' ; ; on retrouve alors pour (x{n)) la valeur (ain'~i}), et par suite (ain') et (a1"'-") sont un système de solutions communes poury* — o el/n= o. De plus, (a("')) est racine de l'équation à laquelle se réduit fn+\ = o, si les (y) deviennent égaux aux (x). Si to//+, = o, il faut donc que (a(n'}) soit racine de /', = o; si oiH~- o, on voit, en parlant de (a{0)) pour (x), que l'on doit retrouver (<z(0)) pour (xin+i:), et par suite (a{n,)) est racine de dK = o.

Supposons maintenant que (x) vérifie y, ^ o ; à cette valeur (6(0)) de (#), correspond une seule valeur de (x(i) différente de (6(0)), soit (6(,)); on en déduit successivement ensuite (b(2)). (6(3)), .... Soit n pair, égal à i n', et choisissons pour (x) et (x^') les valeurs (b{,l'>) et (b{n'~l)); on retrouve alors pour (xin ') la valeur (6(",1)), et par suite (bin'r) et (6'"'"1 ■') sont un système de solutions communes pour/=o el fn= o. De plus, (ù'"'r) esl racine de l'équation à laquelle se réduit fn+\ = o pour (xy) = o. Si co„+, — o, il faut donc que (b*-""1) soit racine de /, = o ; si tùH= o, on voit, en partant de (6(0)) pour (#), que l'on doit retrouver (b{0>) pour (x(rt+,)), et par suite (b{n'}) est racine de dt = o.

Ces résultats concordent avec les précédents.

112. Revenons au cas d'une forme non symétrique, ou bien encore au cas où les espaces X et Y sont supposés différents.

Appelons (x) et (,r(1)) les deux valeurs de (x) qui correspondent à une même valeur de (y) ; ces deux valeurs sont liées par une relation doublement quadratique symétrique, facile à calculer; avec les formules canoniques, on obtient

[ 1 G a'0 c'0 ft? x'? -+- ( a'0 c, - a', c{, )« x'£ ] ( x'{ » > )«

-i- 2 [( a'0 c'2 — a', c'0 )- - 8 b'? { a'0 c\ h- a', c'0 )] ^ a/, a?il 1 ' x\ -

<)n peut alors résoudre un problème analogue à celui du n° 110.

Si nous désignons J,, lo, I;, les invariants de celte nouvelle

forme, on aura, en fonction des invariants de la forme primitive.

i3 - — /.; 64i'Jh iGi'i /•,/;.

< )n remarquera ;m^i que la forme précédente est un cari»'' parfait dès c|uc ia o; dans ce cas, les seconds éléments de ^ qui correspondent à (x) el (xli)) coïncident : il \ a homographie entre deux involul n»n-.