I. Les couples d'éléments communs à deux formes

113. Nous nous sommes bornés presque exclusivement, dans l'étude des formations invariantes des systèmes binaires, à la considération des formes à une seule série de variables, et c'est à ces formes que nous avons rattaché l'étude des quelques l'orme s à deux séries de variables que nous avons envisagées. Cependant, l'étude directe des formes à deux séries de variables présente un grand intérêt et des particularités importantes. Nous allons en traiter quelques points.

Considérons deux formes à deux séries de variables f = axvyi, g = cixFyT'-, égalées à zéro, elles définissent un certain nombre de couples d'éléments (x) et (y), qui leur appartiennent simultanément; ce nombre est évidemment pq' -4-/?' q, comme on le voit en éliminant les (x) ou les (y) entre /'— o et g — o. Il peut être avantageux, au lieu de faire cette élimination pour définir les couples communs kf et à g, de procéder d'une façon différente, de façon à obtenir simultanément les valeurs d'un même couple. A cet effet, considérons une forme bilinéaire quelconque

cp = axy= aii»i/i + ai2^ij2-(-a2i^2jKi-i- «22^27-2»

et cherchons la condition pour que cp contienne un couple commun ày*et g; nous tirerons de ©

erons d

0C[2>2?1 J — 0Co*'**^'2

«11^1 "+- CX2i^2

portant dans / et g et éliminant les (x), on a un résultant de degré pq' -f- p' q H- iqq' par rapport aux (a), et qui, égalé à zéro, exprime la condition cherchée. Toutefois, ceci n'est vrai que si

l'on a o ;— 'o, en faisant o — y.,, y.o, — txl2a2, ; et si l'on a 0 =: o, les équations entre lesquelles on a éliminé les (x) admettent Tune //fois, l'autre g^ fois, le même facteur a12#< ■y.11:r.1\ donc, d'après un raisonnement qui nous a déjà servi, le résultant trouvé plus haut contient le facteur o'/v ; si on l'en débarrasse, il reste une forme <I», de dei^ré juj />'/■ dont l'évanouissement est la condition cherchée, sans facteur étranger.

D'ailleurs, si (a !>'•' 1 es! un couple commun à /il g, il est

clair que l'on peul éci ire

* II' *n aï A, • sti»aV &y ijia',1 A, ï„a'j' 6,")?

donc (I» est déc posable en /»/' p'q facteurs linéaires, el chacun

<lc ces facteurs linéaires fournil immédiatemenl un couple tel que </ . A . Les coefficients (<p) de <E> sont des degrés/?' </ el /' 7 respectivement par rapporl aux a el aux 1 b .

Nnu> dirons que M» 0 esl l'équation des couples communs à J (i g. Remarquons que les x pourraient être considérés comme des variables de seconde espèce |>;ir rapporl à l'ensemble a , y) ; mais nous n insisterons pas ^m ce poinl qu'il sullii d'indiquer.

1 1 \ . Les fonctions symétriques fondamentales des couples communs 1 ./ ' 1 g sonl les coefficients de *I' : si

^, 1. 1. p p ?' ' " : 1 ''■: : Xt 1 *

--^ I , , I ,-, I ,-, I rt

où /• //y' - // q, mi .1 I',.

•'vM b", r«+'vH ...,,', /,.! .

Toute fonction symétrique entière des (a ' ) et des - b ' ) homogène et de> mêmes degrés par rapporl aux divers couples < a '■

comme par rapporl ans. divers couples 1 // ' s'exprimera en fonction entière des coefficients (a) et {b . Kn raisonnant comme au n° 8, il suffit de démontrer ce théorème pour les fonctions telles que

2 (<•>)"' (A'," )"(//,- )'«( b? )" . ..(a>i)>»(b\ny: