CHAPITRE IX. — FORMES A DEUX SÉRIES DE VARIABLES. 12j

or, dans <ï>, faisons par exemple oc22=o, a2l=Xa,2; on obtient

n [( a, , af b'p -+- a12(a</' &2" + X a<2'> bf )] ; on peut calculer alors, d'après le n° 8,

S(a(lll^11 + k1s11Jl11,)'»+fl(«(1s))m+B(è(12,)'"+'! . . .(af1r))"l+"(&ï"1)'" w',

en fonction entière des (ce); le coefficient de - -^ À», dans cette

fonction, sera la fonction cherchée, multipliée par II(«,1'))/'(///))"' ; mais n(a'/') et n(è(/') sont déterminés directement comme fonctions entières des (a) et des (b). La fonction cherchée se présente ainsi comme fonction rationnelle des (cp); mais cette fonction ne pouvant devenir infinie est entière; de plus, elle est des degrés mp' -h nq' et mp + nq par rapport aux (a) et aux (6).

115. La forme / est définie au point de vue géométrique par la condition de contenir pq + p -h q couples (#), (j), puisqu'elle dépend de (/? + i){q -+- i) coefficients.

Supposons la forme/ donnée, et regardons les coefficients (b) de o- comme variables; à chaque système de valeurs des (b) correspond un ensemble de pq' +p'q couples (x) et (y) appartenant à /et à g : nous allons chercher si ces pq' - p' q couples peuvent être pris arbitrairement, appartenant à/.

Supposons d'abord p>p, q'=q\ pour définir les couples communs à/ et g, nous pouvons remplacer g par g -+- hf, h étant une forme quelconque aux variables (x) et ( y i, des degrés p—p et </' — ^; par suite le système des pq'+p'q couples communs à/ et g' dépend au plus de

QD'+l)(g'+l)-(//-jp-+-l)(gr'<?-l)-I

paramètres; ce nombre est égal à pq'-'rp'q — (p — 0(<7 — ! )j de sorte que le système de couples considéré ne dépend que de ce nombre de paramètres au plus et que {p - - i )(</ — i ) au moins de ces couples sont déterminés par les autres. Il est facile de voir qu'il n'y en a pas davantage : en effet, les formes g qui contiennent pq' ' + p' q — (p - - l){q — ') couples appartenant à / dépendent linéairement de

(p'~ l)(q'-h i)—pq'—p'q-r-(p- \){q — i)

paramètres homogènes et ce nombre étant supérieur à

il en résulte que les formes g considérées ne sont pas toutes composées comme///: en d'autres termes, elles ue contiennent pas tontes / en facteur : elles sonl proprement dites dans leur espèce.

Si maintenant on n'a pas à la fois /> />. >/ </. alors on voit toul de suite que parmi [es pq' -p'q couples communs à y et fi', il v en a

pq' p'q p'q' p'—q'

« I h i sonl déterminés par les autres : ce nombre coïncide avec le précédent pour p />' \ . <>n q </' ■- \ .

1 Ki. Considérons une forme // des degrés p" el </ assujettie à contenir les pq' p'q couples communs â / el g", «i montrons d'abord que ces conditions sonl distinctes dès que l'on a

Pour relu, il suffil <!<• faire voir que l'on peul trouver une forme // des degrés p /< i, q-i-q'—i, contenant lous les couples commun^ à f el r sauf un : supposons donc que celui-ci corresponde à ./ <». i ■.. o, de sorte que l'on puisse écrire

/, et /, étanl des formes des degrés p i, q elp, q - i, et^i, g^ étanl <l«s formes des degrés p i . </' el p . q' i ; alors il esl clair que la forme f\gi f2gt des degrés p /> lelq </' — i contient tous les couple- communs à / el n . sauf celui que nous avons mis à part.

Ceci posé, supposons <|ue la forme // des degrés//' et y", au moins égaux kp p' - i et q - ■■>/ - 1, contienne imi- le- couplecommuns kf et ^el formons la combinaison h( h - f/\ ggw J\ el g\ étant des formes des degrés respectifs p" — />, q" — //, et />" — p\ q"—q'\ lu contient comme h tous les couples communs à /et g et cela quelles que soient /, cl gK. En disposant convenablement des coefficients arbitraires de/, et ^,. on peut réduire le nombre des paramètres homogènes dont dépend linéaire-