CHAPITRE IX. - FORMES A DEUX SERIKS DE VARIABLES

ment hK ; mais il faudra faire attention que, si Ton a

P"^P-P', 9"àq + q'

l'identité kfg = kg/, où k est une forme arbitraire des degrés p" — p — p'j q" — q — q' , et où l'on remplace le second facteur de chaque membre par son développement, établit des relations identiques entre les termes de//', et de gg\, lorsque/, et gt \ sont développées. Finalement, on voit donc que le nombre des paramètres dont dépend /ij est

(p'+ Ot?' h-'o-0>* -/>-+- ' Kq'—q-*- i)-(p'—p'+ OC?*- ?'+ ■ > -h(p"—p -/>'-+- i)(q"—q -q - 0.

le dernier terme étant applicable encore si l'on a p" = p +/?'- - i , puisqu'alors il s'annule.

Ce nombre se réduit précisément à pç'-f-p'q', donc, puisque //, est assujettie à pq'-\- p' q conditions distinctes, il faut que cette forme soit nulle identiquement; par suite nous obtenons ce théorème : la forme h est nécessairement une combinaison telle

<{ue ffi + gg*-

Bien entendu, ce théorème n'est vrai que d'une façon générale.

si l'on conserve aux coefficients de / et g tout leur degré d'arbitraire : cette hypothèse domine toute celte théorie. Le résultat obtenu suppose que l'on a

il est facile d'en déduire qu'il est vrai dans tous les cas, à une exception près. Supposons, en effet, que A, des degrés quelconques p" etq", contienne tous les couples communs à / et g\ il en sera de même de liX\ par exemple; si donc le théorème esl vrai pour les degrés/?"-]- 1 et q\ hxK sera de la forme//', — ggK ; cette combinaison contenant le facteur #,, si l'on désigne par

ce que deviennent les fonctions /, /, , g, gt, quand on y fait .£,— 0, il faut avoir identiquement to'fi -j- *i/']>, = o ; si q" est inférieur à q -f- q'-, <Pj et <h{ sont nuls identiquement et le théorème est démontré évidemment, en supposant toutefois, ce qui est possible, que les formes <p et 'l en [y) n'ont pas de racines communes; si l'on a q"=q + q'-, on peut écrire

Oi — tl)d/, l\ = — UIO.

12b LIVRE I. — L\ GEOMKTIUE BINAIRE.

(o ('tant une forme eu ( r) de degré y" — y — g' ; mais alors en faisant

/=a?£<p-4- jrj". g .r'^l — Tig',

ie H

on a sans peine

et celte expression n'est entière que si //' e>i au moins égal à /> + p' — i. D'après cela, on voit que Je théorème n'est en défaut que si les deux nombres /> el q" sonl l'un supérieur, l'autre inférieur aux nombres p -h p' — '. '/-'/' — l '■ dans ces cas, on |icnt mettre A sous la forme du quotient de ffK -+ g^ par une puissance convenable de a:2 on )•.. par exemple.

('."rsi ainsi que, en éliminant les i r entre f el #, <>n a une forme A. p • laquelle/?" /></' /''/■ q" o; on peul l'écrire,

comme on le -;iit déjà, sous la forme ! -> el il ne sérail pas

difficile d'obtenir plus de S) métrie.

Si l'on prend/?" /• - // -i — r}q" y q1 — î — s, la forme f\f-\- g\ ^contient linéairement (/?' /ly' -s)-+-(p — r)(q s) paramètres homogènes : on en déduil sans peine que la condition de ion i en ir ion s |e> couples communs kf el g équivaut, pour une forme des degrés p" el q . à />>/' /> y rs conditions seulement; en d'autres termes, dès qu'une telle forme contiendra /"/' /' 7 rs couples communs à f el g', elle contiendra nécessairement les rs autres, en général.