Considérons l'identité

ffi-*-ggi-+-hhl = o,

où /, , g, , h , sont des formes des degrés p' -+- p" i et q' -h q" — i , // -{- p — i et /' i- £ — i , /> H- // — i et gr + </' - - i .

Si/, g", A n'ont pas de couple commun, et si cette identité est vérifiée, il faut que h{ contienne tous les éléments communs à/ et g] donc h{ est de la forme

fi et g2 étant des degrés p' - - i et q' - - i, /? - - i et q — x ; alors il

vient

f (fi-*- f*à) +-g(gi + g*h) = o;

slfelg n'ont pas de facteur commun, ce que l'on peut supposer,

on a par suite

gx-v- g%h = —fk, k étant des degrés/»"- - i et q" ' — i, et l'identité s'écrit

* (fg - £/) + A (fh - V) ■+- g* ( S* - V ) = o ;

elle n'exprime donc aucun fait nouveau : elle résulte seulement des relations identiques qui existent entre les termes de//*! elgg{, par exemple, quand/, et gt y sont développées, et que nous avons déjà signalées.

D'autre part, si / g, h ont au moins un couple commun, il est clair que l'on peut vérifier l'identité

ffi-*-ggi-+-hhi= o, par des valeurs autres que les précédentes; en effet, hK ne sera plus

assujettie à contenir tous les couples communs à f cl g, mais seulement ceux de ces couples qui n'appartiennent p;is à h \ et //, étant ainsi déterminée, hh, sera de la forme — (//", ggt) d'après len° 116.

Il résulte des considérations précédentes que la condition nécessaire et suffisante pour que/, g, h aienl au moins un couple commun est que l'on puisse vérifier l'identité

./'/', ffffi h lu - o,

par des valeurs autres «pu- celles qui se présentent naturellement.

En il 'autres termes, les formes a

•'•','■ ■'".•■. ' \':/- ■'•'1',-/'V.' i'-1 '■■■■i'- -'"l' Vi •' !' ' I ''•

où r, - r2 /'' /- - i , v, s2 7' - '/ — i el qui sont

déjà liées par /"/ /> <f p 7 relations linéaires connues, doivenl être liées encore par une nouvelle relation linéaire.

Ces formes son l en □ bre 2 /> /> \(q q el contiennenl

chacune [p - p' /> </ </ >/ termes : la différence entre le nombre précédenl el celui-ci esl précisémenl -/"/•

Prenons don. (p y.p'-+-p"\ q -+ g' .g des formes », el écrivons le déterminant de leurs coefficients, que nous pouvons, par un choix convenable des formes considérées, supposer non nul : >oii I!, ce déterminant, d'ordre i p /> p' q \-q'-\-q")>

Écrivons les relations connues entre les formes ~ et soit R.2 le déterminanl des coefficients des formes non choisies tout à l'heure dans ces relations, déterminanl d'ordre -/"/•

Si R.2=o, 1< -s formes choisies primitivemenl sont évidemment liées par une relation linéaire, el par suite M, contient l>j en facteur. Si R,= o, sans que R2 = O, ces mêmes formes sont liées par une relation qui n'est pas une conséquence de celles que l'on connaît déjà. Le résultant se présente donc finalement sous la forme du quotient des deux déterminants I'h el ]{.,; ce quotient est d'ailleurs des degrés voulus par rapport aux coefficients (a), (6), (c).

On remarquera que ce résultat n'a été établi qu'en admettant 1 hypothèse signalée au n° 116; mais, d'après la définition du résultant, il subsiste dans tous les cas.