CHAPITRE IX. — FORMES A DEUX SÉRIES DE VARIARLES

On observera encore que k étant une forme arbitraire des degrés p +/>' + />" — i, q -r- q' + q" — i , on peut toujours vérifier l'identité

ff\ -+-qyi + lihi -+■ Mi = °i

k\ étant une constante, et cela en dehors des relations connues entre les formes çp; alors on peut évidemment prendre pour /.-, le résultant de R.

119. Comme au n" 66, nous allons chercher à déterminer le nombre et les valeurs des couples communs à trois formes/', g, h, lorsque leur résultant R est nul.

Nous chercherons d'abord combien de couples communs à J\ g appartiennent à h\ si /?, n', n" désignent combien de fois un couple commun à/", g, h est multiple pour les systèmes [g, A), (A,/), (/', g), la plus petite valeur de ces trois nombres, soit m, indique combien de fois le couple considéré est commun à f, g, h. Les nombres S/i", 2m, où la sommation est étendue à tous les couples distincts communs à/', g, A, indiquent combien de couples communs à f et g appartiennent à A, et combien /, g, Ji ont de couples communs.

Pour déterminer les couples communs à y et g qui appartiennent à A, on fera comme au n° 66. On remplacera A par h + \k, \ étant un paramètre arbitraire, et k une forme semblable à h. Si N" couples communs à/, g appartiennent à A, on voit tout de suite que les dérivées partielles de l'ordre N" — i de R par rapport aux (c) sont toutes nulles; en outre (cl) désignant les coefficients de k, la polaire D^R n'est pas nulle identiquement et est le produit des valeurs de k obtenues en y remplaçant (x) et (y) par les valeurs des N" couples considérés.

On en déduit la même remarque qu'au n° 66. On peut en particulier prendre h sous la forme (£ | x)P"(y\ \y)q" par exemple, et obtenir des invariants simples pour résoudre la question proposée.

La détermination directe du nombre des racines communes à /, g, h offre de plus grandes difficultés : nous ne l'entreprendrons pas.

An.

l3o LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

III. -- Le discriminant d'une forme. Le jacobien de trois formes.

120. Le discriminant (rime forme/— axi<y<i est une fonction entière des coefficients (a) qui, égalée à zéro, exprime que les quatre formes

ont au moins un couple commun.

Cette définition esl légitime, à cause de L'identité

i a?i/i-f-a-«/j=ri/3 J .■/.■

Pour obtenir le discriminant S '!<• /. on calculera d'abord le résultant S, des formes /', , /a <■!/., par exemple; S, contient S en facteur, ei en outre le discriminant de la forme binaire obtenue en Faisant, dans /'. r, i el y2 o. En supprimant ce Facteur on obtienl S. qui est une (onction entière '1rs (a) du degré *'/"/ i/' — • '/ '• '" ''"' aussi un invariant multiple.

S o esl li condition nécessaire el suffisante pour qu'il existe un couple (a), (b) le) que, les l a ) étant égaux aux (a |, / ail une racine double (6) en (y), el que les i j | étant égaux ;nix i/>). /ail une racine double i a en

Pour la Forme bi linéaire du u° l'A, ou .i S <> ^n.,, — ,i S1,i ,2i ; pour la forme linéoquadratique du n° 104, S est l'invariant I!: pour la forme doublement quadratique du n° 106, S est le discriminant de l'équation canonisante, Facile .'* calculer.

Le discriminant du produit de deux formes y et g s'annule identiquement, car les dérivées partielles de ces deux formes contiennent tout couple commun à/et à g.

Ou peut Facilement prévoir un théorème analogue à celui du n° 71 pour déterminer le nombre et les valeur- des couples communs à/^/2,/3,/4 : mais il ne semble pas facile de l'énoncer et de le démontrer d'une façon à la fois précise et générale.

121. Si l'on considère irois formes/, g, h, des degrés p et </. // el q'ip" et g", ->i l'on emploie les mêmes notations que ci-dessus.