CHAPITRE X. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE BINAIRE. l
définie seulement à un multiple de linnz près («désignant \J — i), et au signe près.
Si (x) est quelconque, on a toujours
dz yz ± zx ± xy = o (mod 2 imr.),
d'après la définition du rapport anharmonique et les propriétés des logarithmes. C'est cette égalité qui justifie le nom de distance. Si (y) et (z) coïncident, et seulement alors, on a
yz s o ( mod a imTz).
Si (y) et (s) coïncident avec (#(,)) ou (a(2)),y5 est indéterminée. La distance de (y) à l'un des éléments («(,)) ou (af2)) est infinie logarithmiquement.
12i. c désignant la base des logarithmes népériens, on a
et par suite
Ar3
- D yz
— = — uang^— :
ceci permet d'écrire
yz ( yz) \/D
tang^4- = ^ / , aim \yZ
et encore, à cause de l'identité
Ar,A--À|3 = D(^)2,
cos-^- = ' , sinA— = ,
a un ^AysA-» 2"M t/A^A^'
dans ces formules, les radicaux y/D et \jAy"-Az-- ont des déterminations arbitraires.
On peut convenir de choisir toujours la même valeur pour y/D;
alors nous dirons que l'espace E est orienté; dans ce cas,^ est définie à un multiple de iim- près, et l'on a
yz -t- zx -+- xy = o (modaim-)\
ceci revient à supposer que les éléments («(,)) et (a{2r) sont distingués l'un de l'autre.
I ij LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.
On peut encore supposer que toutes les fois que Ton considère
un même élément (/), le radical ^ \v a toujours le même signe: alors, écrivant
yz A>r . \z (vz)^D
on voit que la distance yz est définie à un multiple de \ un- près, et l'on a
yz — xz — ./ y = o i mod i im -).
< >n dit alors que l'élémenl (y) est orienté.
La distance de (y) à Lui-même supposé orienté de façon opposée esl 2 im-.
Deux éléments [y) et (z) sont perpendiculaires quand ils sont conjugués harmoniques par rapporta L'absolu. On a alors Ayz 1=0
i 1 yz = im- (mod \iim-), quelles que soient les orientations.
Remarquons que le rapport anharmonique (yzlu) peut s'écrire d'après une formule précédente,
-in
-in
zu
:> im
-in
-in
zl
•un '/.un
125. Soient (>, et Oa les deux éléments fondamentaux, dont aucun n'appartient à L'absolu. On peut, sans altérer la généralité, faire A0 = A2 = 1 , définir O, el 02 par les coordonnées (1, o), (o, 1), et orienter ces éléments en faisant Les radicaux \r-. correspondants égaux à 1 . Si enfin on appelle 0 la dislance O, 02, on a
cos-
-- A,, -in . - = /!>;
■iii/i 2 un
par suite
F = Jr+2 COS— ; — X1X1 — ./ .
•un
el, en outre, l'orientation de l'espace est déterminée par
i/D = sin— - —
■2 un
