CHAPITRE X. — LA GEOMETRIE METRIQUE RINAIRE

ments qui constituent l'absolu, tandis que celles de la seconde série intervertissent ces deux éléments.

Si donc on suppose l'espace E orienté, les substitutions de la première série donnent

y' z' ^= yz . (uiocl^ùinz),

tandis que celles de la seconde donnent

y z' ^^ — yz (mod2f/n7i).

Pour cette raison, nous appellerons les premières des mouvements^ tandis que les secondes seront des symétries. On remarquera que l'on a, suivant le cas,

A^2= dz(X|a)A^'.;

et dans le premier cas, il vient

(X[jl) = wf -h Dw| ; dans le second

(lix)^- -AoA2(wf-+-Da)|).

Si Ton oriente les éléments (x) et (^^), on pourra convenir de choisir toujours la même détermination pour y/zh(À[j.), et de faire

alors, dans le cas d'un mouvement, on aura

y'z'=rr.yz {modi\ùn7ï);

dans le cas d'une symétrie, on aura de même

y' z' :^-^ — ■ yz ( mocl 4 ifn 71 ) .

130. Plaçons-nous maintenant dans le cas spécial. Si nous écrivons que la substitution a- transforme l'absolu en lui-même, ce qui, comme plus haut, est une condition nécessaire et suffisante, en faisant

F - Al,

nous avons d'abord

Ax ^ Au, Al Ao

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l4o LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

d'où

O^i = A 2^1^! -i- A2(A2 W3 — (1)2)^2, 0^2 = Ai( Aj t03 — (X)i)cc\ -h Al 0)2^2 5

A.^ A2 n'étant pas nul, avec

(Xfj.) = Al A2W3( Aia)2H- A2 coi — Ai A2 W3), (0,, cjl)2, W3 étant trois paramètres arbitraires; la valeur commune des rapports -— et ~-^ est d'ailleurs A^ A2Cjl)3. Dans ce cas on a

— A 1 C09 -4- A9 W| — Al A9 W3 — , — ,

yz — = -^- = — y z ,

et le rapport des distances /^ el y' z' est constant : la substitution (7 est alors dite une similitude, caractérisée par le rapport

constant ^^—-^ dit rapport de similitude.

Ce rapport est facile à exprimer en fonction des invariants de l'homographie définie par a-.

La substitution 0- est un mouvement ou une symétrie, si le rapport de similitude est égal à i ou à — i .

131. Dans le cas général, un mouvement est une homographie dont les éléments doubles sont les éléments de l'absolu : il en résulte que la distance de deux éléments correspondants (x) et (x') est constante et s'exprime à l'aide des invariants de cette homographie. On a aisément

3737' w I . û^cc' (1)2 \/D

cos — ;— — , y sin — i — = . ;

cette constante xx' est la grandeur du mouvement. Quand coi == o, l'homographie est une involution, et

chaque élément est changé en celui qui lui est perpendiculaire.

Une symétrie est une involution dont l'absolu est un couple

particulier; si donc (b^^^) et (è^^^) en sont les éléments doubles,

perpendiculaires entre eux, deux éléments correspondants (x) et

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