IV. — Les invariants métriques

133. Dans le cas général, les mouvements forment un groupe; on peut donc, pour ce groupe, construire des invariants absolus d'un système binaire S quelconque. En gardant, les notations déjà employées au Chapitre I, ces invariants seront distincts en nombre P — 2, en général, et seront les solutions des deux équa-

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l4a LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

lions aux dérivées partielles

Ail F -i- A22F = o, — AoA2iFh-Ai(AiiF-A22F)-hA2Ai2F = o,

qui forment un système complet.

Ces invariants, dits invariants absolus métriques du système S, peuvent être choisis rationnels par rapport aux éléments de ce système; au point de vue géométrique, ils correspondent à l'existence de propriétés métriques absolues du système S, quand ils sont homogènes et de degré zéro par rapport aux diverses séries de variables et de coefficients qu'ils renferment, ainsi que par rapport aux coefficients (A.) de l'absolu. Ils comprennent en particulier les invariants absolus ordinaires du système S.

Pour former les invariants absolus métriques de système S, considérons le système S^ obtenu en adjoignant au système S l'absolu F=A^î. Les invariants absolus ordinaires de ce nouveau système S^ sont distincts, en nombre P — i en général; ceux d'entre eux qui sont homogènes et de degré zéro par rapport aux coefficients (A) de l'absolu sont distincts, en nombre P — 2 en général, et forment évidemment un système fondamental d'invariants absolus métriques pour le système S.

La théorie des invariants absolus métriques est ainsi ramenée à celle des invariants absolus ordinaires, ainsi qu'il était facile de le prévoir.

134. On peut de même envisager des invariants non absolus qui se reproduisent à une fonction près des paramètres des substitutions qui caractérisent les mouvements.

Ils vérifieront les deux équations aux dérivées partielles

AiiF-t-A22F = (jiF, — AoA2iF-f- A.i(AhF — A22F) — A2A.12F =^ vF,

]x et V étant des constantes quelconques; leur existence correspondra à celle de propriétés métriques accidentelles pour le système S.

Sans insister sur Tétude directe de ces invariants, leurs propriétés sont suffisamment mises en évidence si l'on remarque

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