LUI — W2 V — D
fait la substitution a-.
Avec ces invariants, il est facile de former tous les invariants métriques du système S.
On remarquera que w^ — CO2 \/' — ^ est l'un des facteurs de Çk^i) considéré comme forme quadratique en w, et 01)2.
Dans le cas où le système S ne comprendrait pas de variables (^), il serait facile de remplacer l'invariant particulier que nous avons défini en dernier lieu par un autre analogue.
135. Supposons maintenant que l'on se trouve dans le cas spécial et qu'il s'agisse d'abord des similitudes.
On définira des invariants absolus, métriques, distincts en nombre P — 3, en général, vérifiant les équations d'un système
complet
A2 Ail F " A.1 A21F = o,
— A2 A12 F ^ A 1 A22 F = 0, A|Ai2F-f-A|A2iF =:o;
on les formera comme précédemment en adjoignant au système S la forme A^, et prenant les invariants absolus de ce nouveau système S^ qui sont homogènes et de degré zéro par rapport aux (A). Les invariants métriques non absolus vérifieront
A2 An F — Al A21F = [J.A2,
— A2 A12F -4- Al A22F =:: ^Ai,
AIA12F-1- Af A21F = vAa, a et V étant deux constantes quelconques.
Hosted by
l44 LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.
On les formera comme précédemment, en adjoignant A^ au système S^. Ils se reproduisent à des puissances près de Çk^k) et du facteur A^ A0CO3 de ()^a).
136. Envisageons enfin les mouvements dans le cas spécial, il y a en général P — -2 invariants absolus métriques vérifiant les équations du système complet
Ao Aji F -+- —7^ A] 9 F — — A^i F — o,
2 Al " '2 "
__ 1-.- A12F -r- -^-^ A^i F -h Al A99F — o,
, , Wi Wo
obtenues en remplaçant 0)3 par -— — \ —-
2 /\ 1 2 -rs-2
On formera P — 3 invariants distincts comme au numéro précédent, et l'on pourra ensuite en former un dernier en remarquant
V • /-i \ /A, W2-I- AgWf \2 . A, 0)2-;- A2OJ1 . . -,
qu ICI ( Aaj ^^ ( 1 et que A^^= A^'; si donc
F est un invariant ordinaire non absolu du système S qui soit
d'ordre [j., il est clair que FA^^ est un invariant métrique absolu.
Les invariants métriques non absolus vérifieront les équations
A^AiiF-h -4^ Al, F— ^- AoiF --^ uF, 2Aj " 2 "
- -' A12F-1- ^ A2iF-hAiA22F--=:vF,
a et V étant des constantes quelconques.
On en formera P— i comme au numéro précédent, qui se reproduisent à des puissances près de ()^p.), et on leur adjoindra e^'^\ par exemple, puisque la distance xx' est constante.
On a
Z( A2 Wi — Al 0)2)
O 1 ^' — 0 1 37 — xx' -
Al A2( A2 coi-i- Aïoj,)
On aurait pu appliquer le même procédé dans le cas général ; mais il n'aurait rien donné de nouveau.
137. Pour préciser davantage ce que nous venons de dire, supposons que l'on ait dans le cas général F r= aA^^ricTo; alors, on peut en changeant les paramètres, écrire les mouvements sous la
