CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTÈMES TERNAIRES. l^i

alors on a des relations telles que

^Pi ^p-: ^ps

Les premiers membres de ces relations sont les fonctions symétriques fondamentales des coordonnées des p éléments de seconde espèce (a^^'^) dont l'ensemble est défini par l'équation /=:: o. Toute fonction symétrique de ces coordonnées, entière et homogène de même degré m par rapport aux divers systèmes (c/M^)^ peut s'exprimer en fonction entière des (a) ou, ce qui revient au même, des fonctions symétriques fondamentales. Gomme au n° 8, il suffit de le montrer pour les fonctions de la forme

où l'on a 7712 + 7^3 == 771.

Si alors, dans/, nous faisons ^^î^X^To, on obtient une forme binaire égale au produit n[aj/^^i -^ (^'j^+ ).aîj^)^2]- Si pour cette forme on calcule la fonction symétrique

P le coefficient de p — 'p — )."^3 dans cette expression sera évidemment

la valeur de la fonction considérée.

En généra], une fonction symétrique du degré m par rapport à chaque système (a^^^) sera du degré tti par rapport auK coefficients (a); elle sera de plus isobarique par rapport à chaque indice, et de poids facile à calculer.

143, La considération des polaires conduit en particulier à définir, pour une forme /= a^p et un élément donné (j^), une série dont l'équation est a^/;-A^.'/= o, et qui est dite la A^^'"^^ polaire de (y)] elle est de degré/? — h, Si(^) appartient à la A'*""^^ polaire de (jk), Inversement (y) appartient à la (/> — /z)'"'"'*^ polaire de {x).

La (p — lyème polaire de (y) est une série linéaire.