II. — Les substitutions linéaires et les invariants

144. Transformons un système ternaire S, comme nous avons transformé au n° 11 un système binaire, par une substitution

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ï52 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

linéaire a-, de façon à introduire de nouvelles variables (.r^), . . définies par

^3= Àsi^'l H- X32'^2-^ ^^33^'3 ;

Le déterminant S de cette substitution est supposé essentiellement différent de zéro, de façon que l'on puisse écrire inversement, en appelant ui// le coefficient de X/y dans le déterminant o :

Oa;\ — ^^.^Xi-+- [i.2 1-2:^2-^ [J-31^3, 0:27 2—-- [-'- 1 2 "3^ 1 ~^~ [-'-2 2'^2~'~ p-SS-^Sj

Une forme linéaire {ç,\x) devient par cette substitution (ç^l œ^)^ et, supposant ces deux formes identiques, on a pour définir

les(i')'

OU inversement

0;i = {^-liç'i -^ [J-i2^2+ 1^-13$3' 0Ç2= [J-21^i-i- [^22^2+ ^23^3^ 0Ç3= f^-3i^'l + [^32^2+ î^-33^3'

Les variables de seconde espèce sont donc transformées par la substitution transposée de celle faite sur les (^); le déterminant

de cette substitution est -.^ •

Les généralités indiquées à propos de la transformation des systèmes binaires subsistent ici entièrement, à quelques modifications évidentes près.

Les P relations qui existent entre les éléments du système S et les éléments du système transformé S' sont toujours faciles à former : ces relations dépendent d'ailleurs des neuf coefficients (X) de la substitution cr ; elles appellent les mêmes remarques qu'au n^ 12. On voit de même que l'ensemble des transformations cr forme un groupe à neuf paramètres, fini et continu : deux substitutions a- successives se composent d'ailleurs comme dans le domaine binaire.

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