CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTEMES TERNAIRES. l
Les substitulions a- peuvent être interprétées, au point de vue géométrique, exactement comme au n'^ 13 : elles définissent soit des changements de coordonnées, soit des homographies entre des espaces distincts ou coïncidants. Au point de vue géométrique, une substitution o- ne dépend d'ailleurs que de huit paramètres, de sorte qu'une homographie par exemple est déterminée par la connaissance de quatre couples d'éléments correspondants.
145. Il existe pour le système S et les transformations a- des invariants absolus que l'on peut choisir indépendants en nombre P — p^ p étant un nombre en général égal à 9, mais qui peut être inférieur à 9 et qui est déterminé par la considération des déterminants tirés d'une matrice analogue à la matrice M du n° 17.
Ces invariants absolus peuvent être choisis rationnels par rapport aux P éléments du système S, ce que nous ferons toujours. Les invariants absolus géométriques se définissent et s'interprètent comme au n^ 19.
Le groupe des transformations o- contient neuf groupes particuliers à un seul paramètre, définis par les substitutions des deux types suivants :
ces groupes sont engendrés parles substitutions infinitésimales du groupe total, et engendrent eux-mêmes ce groupe.
On en déduit que les invariants absolus du système S sont les solutions du système des neuf équations aux dérivées partielles linéaires et homogènes A/yF = o, où l'on trouve facilement
-+-(Pl H-^i H- • . • — 't^x — pi — • . ')<^pi,pi,p.i;...;TCi,'K.2.r..y,
Ai2F(e) = — ^2 ^—•..H-^ ^H-..- ÔF ' ^
-f- -T- [P2<^p,-i-i,p.-l,p,;. . .■,'K„'K.,TZ,;. . . -+- • • •
PuPi^Pa'j- • •','^\>'^-2r''^a'>- • •
— TTi <^pi,p.2,p3; . . . ;7li— 1,712+1,713; . .. — ...J-1-....
Ces neuf équations se réduisent à p distinctes, formant un sys-
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j54 livre II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
Lème complet; on vérifie aisément les identités des types suivants, où les indices ^', y , k désignent des nombres différents
Aa-A,-yF-A/yA,7F = A,-yF,
A.vAy.-F — A,7A.,-F=.-Ay,-F,
A/^Ay^F- A,^A^,F=:o,
A,yAy, F - Ay, A/y F = A,, F - AyyF,
A/yA/A- F — A,7, A/yF = o,
Ay/A/,,- F — A/,/ Ay/F = o,
A,-yAA,-F-A/,,-A/yF=:-AAyF.
146. Le système S admet aussi des invariants proprement dits, qui se reproduisent à une fonction près des seuls coefficients (X). Ils vérifient les équations
A,7F== ;j.F, A/yF=o,
et se reproduisent à Sh- près.
On peat former un système fondamental d'invariants entiers, par rapport aux éléments du système S; ils sont en nombre P — /) + I , sauf exception évidente.
Un invariant non absolu peut toujours être supposé entier et homogène des degrés /r, /,..., x, )^, ..., n, /2^, ... , par rapport aux diverses séries de variables (^), (j/)? • . . , (?), ('/l), . . . , et de coefficients (a), (&), . . . qui constituent le système S. Si ces coefficients sont ceux des formesy=<2^p^.y ^a.^? , ^'=z=^^^,,^,/. ^v-^p- , ...^ et, si [k est l'ordre de l'invariant considéré, on a la relation
3 (JL = (/» -4- ^ H- . . . 71 — p . . . ) 7i
-\-(p' -+■ q' -h . . . — tu' — p' — . . . ) fi' -+-...— /c — /—... -h X + X + ... ..
Les invariants non absolus peuvent être pris pour les invariants absolus du groupe particulier formé par les substitutions a- dont le déterminant est égal à i .
Un invariant entier est isobarique et de poids [a par rapport à chaque indice; il est droit ou gauche suivant que ik est pair ou impair; si l'on permute deux indices, il se multiplie par ( — 1)(^.
Le théorème de Gordan relatif à l'existence des systèmes complets d'invariants subsiste dans le domaine ternaire.
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