CHAPITRE I. ~ IxWARIANTS DES SYSTÈMES TERNAIRES. l

Les invariaDts s'interprètent au point de vue géométrique comme au n° 30.

Les théorèmes généraux des n"^ 31 et 32 subsistent sans modification.

147. Si Fon considère un invariant d'ordre [i. du système S, F = A^AyZ ^x..^x ^ ses coefficients vérifient, comme au n° 33, d'importantes relations faciles à former. Regardons-le comme ne dépendant que des trois séries de variables (^), (y), (s), et soit

le coefficient A/, 0 0 o,/,o;o,o,7«5 des poids respectifs [i- + A-, [^. + /, m.4-/??, par rapport aux indices i, 2, 3 est la source de l'invariant F; car l'application des opérations A/y à ce coefficient permet aisément d'en tirer tous les autres.

Si deux tels invariants ont même source A, des poids respectifs P^, P2, P;3, ils coïncident s'ils sont des mêmes degrés; sinon, ils ne diffèrent que j)ar une puissance de l'invariant évident (^xyz^^ car on a simplement

[X -f- /{• — 1^1, p. -J- / — Pg, \x H- m — 1^3.

Soit A une fonction entière quelconque, isobarique des poids respectifs Pi, P2, P3, dépendant des éléments du système S autres que les (^), les (jk) et les {z). Si on lui applique les opérations A^3 et A03 plusieurs fois de suite dans un ordre quelconque, on finit nécessairement par tomber sur des résultats nuls; si m est le plus petit nombre tel que les quantités A^gAfgA, où p -I- ^ = m + 1, soient toutes nulles simultanément, A est la source d'un invariant dont l'ordre et les degrés sont déterminés par les relations précédemment écrites, m recevant la valeur que l'on vient de trouver, et cet invariant n'est pas divisible par {^xyz^.

On calculera d'abord les coefficients Ayr,oo;o,/,o;;«„7;72,7H3 P^^^ l'application des opérations Ai 3 et A23. On pourra ainsi former le coefficient de x\y\ dans l'invariant cherché; ce sera une fonction isobarique des poids \k-\- k^ [ji + / et [j., qui vérifiera évidemment les équations A^3F=:o, A23F = o, ces opérations s'appliquant aussi aux (5); on en déduit sans peine que Ton a /r^o, /^o, comme au n° 34.

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î56 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

Cette fonction 23eut être considérée comme la source de l'invariant cherché, quand on le regarde comme ne dépendant que des (œ) et des (y); elle permet d'j calculer le coefficient de ^J^, qui sera une fonction isoLarique des poids [Ji + A", [x et [Ji, et qui vérifiera les équations AjgF = o, A03F = o, A, 2F = o, A32F =: o, les opérations s'appliquant aux (y) et aux (s) ; le calcul est possible comme au n° 34.

Enfin ce coefficient 23eut être considéré comme la source de l'invariant cherché, regardé comme fonction des [ce) seuls; et le calcul est possible.

Nous n'insisterons pas davantage sur les nombreuses propositions particulières que l'on peut tirer de ce qui précède. Nous remarquerons seulement qu'on pourrait étendre facilement ce que nous venons de dire au cas où l'on considérerait des invariants F de la forme Aj^.^y.; il suffît en effet de remplacer les (^) par les déterminants de la matrice (yz) pour être ramené au cas précédent.

La source J^k,o,o;-ii,o,o d'un tel invariant vérifie les équations Ao3F = o, A32F==o, et l'on a P2 = P3 ; la réciproque est vraie.

148. Si l'on considère une fonction entière G des éléments du système S, isobarique des poids P^ , P2, P3, l'opération Aij appliquée successivement à cette fonction conduit toujours à un résultat nul; on en déduit, comme nous l'avons déjà dit, que si l'on a A/yG = o, on a P/^ Py, comme au n^ 34; en particulier si P^■= Py, on a aussi A// G = o.

Si l'on a à la fois AjoG = o, A23G = o, on en tire, à cause des identités qui existent entre les opérations A/y, A13G = o.

Les fonctions G qui vérifient les deux équations A^2G=o, A23G=o sont dites semi-inçaria rites ; ce sont des invariants pour les substitutions définies par Xoi = ^31 = ^32= o ; elles se reproduisent multipliées par A^', A^'oA^J^. Si l'on a P^ = P2=P3, G est un invariant proprement dit du système S, d'après les remarques faites plus haut.

149. Enfin nous remarquerons que les notions relatives aux systèmes invariants, aux invariants multiples et en particulier aux combinants, s'étendent sans modification aux systèmes ternaires.

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