CHAPITRE [, — INVARIANTS DES SYSTEMES TERNAIRES
ÏIÏ. — Les formations invariantes générales.
150. Gomme dans le domaine binaire, les polaires sont des invariants. De même, ce que nous avons dit alors des invariants comme combinaisons de systèmes invariants subsiste et les principaux systèmes invariants s'obtiennent sans peine.
Si Ton se donne deux formes /= ctocv^ ^ = [3^^^ d'espèce différente, on en déduit, comme au n° 43, l'invariant
p—h '^TZ—h
la puissance qui figure au second membre étant symbolique.
De même les trois formes de même espèce y, g^ A", des degrés /?, p' ^ p^\ donnent lieu à l'invariant
p—li l p'—li ^ p"—h
Py
à^ df^ dl
dxi àx=i dxz
àk dk dk
dxi dx^ dx^
dg dg- dg
dxi dx2 àx^
la puissance qui figure au second membre étant symbolique.
De même encore si /"dépendait des (x), des [y) et des (s), on aurait l'invariant
dxidy^dz2, dx^dy^dzi
dx^ dfi àz^
àxidf-^dzi dx^dyidz^ dx^âz^àji
De même aussi les invariants K et J se généralisent et s'appliquent encore.au cas où les formes contiennent plusieurs groupes de variables.
151. L'invariant J (/, g, /z), où l'on supprime l'indice i, est le
jacobien des formes/, g^ h\ si l'on pose/i = au n° 46, on a
p âxi
. , comme
Hf,.^,h) =
Si ^2 SS
hi Ju Ih
l58 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
C'est aussi le déterminant fonctionnel de formes /, g^ h ; il est nul identiquement dès qu'il existe une relation entre ces formes, et réciproquement.
Si /, g^ h sont des mêmes degrés, leur jacobien est évidemment un combinant.
Si les formes /, g^ h admettent en commun l'élément [x)^ leur jacobien admet aussi cet élément; si de plus les degrés de/, g^ h sont égaux, les dérivées partielles du jacobien admettent elles-mêmes cet élément.
La condition 3 (/, g^ A) = o exprime que les (/? — lyèmes polaires de [x) par rapport aux séries y, gj h ont un élément commun.
On a aussi, en particulier,
iHf,f,.f)=6
/il /l2 /l3 y 12 /22 /23 /l3 f-U /33
Ce déterminant est le hessien de/. Nous le rencontrerons plus loin .
152. On exprimera comme au n^'SO que n formes quelconques semblables renfermant chacune n coefficients sont liées par une relation linéaire à coefficients constants.
Si le nombre des formes données est inférieur au nombre des coefficients, on peut écrire que ces formes sont liées par une relation linéaire, en écrivant qu'il en est ainsi de l'ensemble des formes données et d'autant de formes semblables arbitraires qu'il y a d'unités dans la différence entre le nombre des coefficients et le nombre des formes données.
Mais on ne peut plus, en général, comme dans la géométrie binaire, remplacer cette condition par une autre plus simple, en introduisant une seule forme auxiliaire, et cela ^onr plusieurs raisons.
En effet, si nous supposons données q formes semblables à une seule série de variables, / , /2, . . • , /^, de degré /?, dépendant par
suite chacune de — -^ coefficients, et si »- est une forme
arbitraire de degré p — r, de sorte qu'il existe — ^-^-^ —
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