CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTEMES TERNAIRES

formes telles que x'\' x\;- x'I^ g ^ la somme /^ + To + ''3 étant égale à r, on ne pourra pas en général déterminer le nombre r de façon

à avoir

De plus, si cette détermination est possible, on obtient bien un invariant qui est nul lorsque les formes données sont liées par une relation linéaire; mais la réciproque n'est pas toujours vraie. Considérons, par exemple, le cas de/? = 2, ^ = 3; on peut alors prendre r = i; mais, si Ton a la relation

Xl/l-f-X2/2-f-X3/3-+-(>^^.^l-^>^5^2^->^6^3)^ := O,

g étant une forme linéaire quelconque, on ne peut en déduire que/, ,/2)/3 sont liées par une relation linéaire : cette identité est en effet vérifiée si/,/'^,/^ ont un facteur linéaire commun.

Si q est de la forme ^^ — -^ et si les formes// sont liées

par une relation linéaire, le déterminant de leurs dérivées partielles semblables d'ordre h est un invariant nul; mais, comme précédemment, la réciproque n'est pas toujours vraie. Toutefois, les invariants obtenus de l'une ou l'autre de ces façons sont intéressants dans bien des cas. Considérons par exemple les dérivées

partielles d'ordre A, h étant au plus égal à -? de la forme/; elles

sont en nombre -^ -^ ~ et de degré p — A, de sorte qu'elles

contiennent chacune '-^ coeiticients. hn leur

appliquant ce qui a été dit en dernier lieu, on obtient un invariant analogue au déterminant A^ du n^51. Si h == fj on a déplus

(/> — /iH- I ) (/> — A -]- 2 ) (7i -H I K A -f- -2 )

etj en appliquant ce qui a été dit d'abord, on obtient un invariant proprement dit dont l'évanouissement exprime la dépendance

linéaire des dérivées partielles d'ordre — d'une forme de degré

pair/). Si enfin l'on applique ce résultat particulier à la polaire

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l6o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

d'ordre ih de /par rapport aux {x) remplacés par les ( r), considérée comme fonction des (j-), on retrouve l'invariant analogue au déterminant A^ du n° 51.

153. Si, enfin, il faut exprimer que q formes données sont liées par r relations linéaires distinctes, on pourra procéder comme au n"" 52, et obtenir des invariants multiples se rapportant en général à une forme à deux séries de variables, les unes ternaires, les autres binaires, et à des formes auxiliaires; dans certains cas particuliers, ces invariants pourront aussi se rapporter à une forme à deux séries de variables ternaires, et aux formes auxiliaires. C'est ainsi que trois formes quadratiques

/"i = ax^~ aii.2^f H-. . .-î- 2 «^23 ^2 •^3 + - • • 1

Z^— 6^.2= ^ii^f + . . .-+- 9.^23 ^2 3^3 +• . . , /3= Cx^. ^ CxxX\ +. . .+ 2023^-^2^3 +• • •

seront liées par deux relations linéaires si l'on a, en introduisant les formes auxiliaires <:/^î, e^^, gx^-i f^x'^ et les variables binaires X,, \2 de seconde espèce,

<^îi '^^'22 f^rà <^-n <^3i <^^i2 ^^1

bii ... 2X1X2

Cil •• ^^2

dxi o

en o

/in ^^

et ce déterminant est un invariant multiple pour les formes auxiliaires, les (X) et la forme composée

les (/) étant des variables binaires de première espèce.

On peut aussi introduire des variables ternaires [y) et ('/]) et

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