CHAPITRE II. — LES SYSTÈMES LINÉAIRES. l

(:rjz)(^|0- {y^t)a\x)-^{zxt)a\y)^{xyt)a\z),.

(^1^) (?|7) (çN)

(^T-)(^0O- ('Ol^) (^Ir) ('Ol^)

I (Cl^) (CI-) (?|^)

155. Pour faire voir que les invariants des types [xyz)^ (^'^Q? (^ I x)^ forment nn système complet, nous allons montrer que plus généralement tout semi-invariant du système S, des poids respectifs P^, P2, P3, est une fonction entière des déterminants tels cj[ue {xyz) ou {\'r\C^)^ des déterminants tels que (^Jk)i ou(^r))3, des variables telles que X3 ou ^^, et des fonctions telles que (^|^), chaque terme contenant Po — P3 facteurs tels que x^ ou (?ïi)3, Pi — P2 facteurs tels que {xy)^ ou ^j. Ce théorème, dont la réciproque est évidente, contient le proposé, puisque pour un invariant on a Pi = P2 = P3 .

Gomme au n° 55, il suffît de démontrer la proposition énoncée pour un semi-invariant linéaire par rapport aux diverses séries de variables; elle est manifestement vraie pour le système formé par les [x) seuls, car alors le seul semi-invariant linéaire est x^. Supposons donc le théorème vrai pour les variables {y)^ (^), (^), . . . , (Ç), (tj), (Q, ... et démontrons qu'il l'est encore si l'on adjoint à ces variables les {x). Le semi-invariant considéré est de la forme A^ x^ + Ao^2-f- A.3^3 ; si A, = Ao = o, A3 est un semiinvariant du système primitif, et le théorème est démontré.

Si A^ := o, sans que Ao soit nul, l'hypothèse faite montre que Ao est un semi-invarianl du système primitif, des poids P^ , P2 -H i , P3; on peut écrire

les facteurs affectés de l'indice 3 étant en nombre P2 — P3 + i . S'il existe un facteur tel que ('3, on écrira

k.x^^r- AsX;=:^y.(yzt) . . . (^oO . . . (0 I ^0 • • . (^^')i • • • ('/^^Os . . . ((^5)1 . . . ;j.i -i~B,x-s,

et l'on sera ramené au cas précédent en remarquant que le premier terme du second membre est un semi-invariant 230ur lequel le théorème est vérifié. De même, s'il existe un facteur tel que (xX)3, on pourra écrire

A,x,^^A,Xs=::I.7.(yzl)...r^rX).-Anu)...i>,...\y.,0^\x)-l,(^^^^

et les conclusions sont les mêmes.

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l64 UVRE II. — L.\ GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

Si enfin A^ n'est pas nul, un raisonnement tout semblable ramène aux cas précédents.

On raisonnera de même si l'on suppose le théorème vrai pour les variables (x), {y)i (^)? • - • ? ('l)? (K), • • • et que l'on adjoigne à ce système les variables (^).

Gomme conséquence particulière du théorème que nous venons de démontrer, remarquons que si une forme f est décomposable en facteurs linéaires, de sorte que /= II(a^^- | ^), tout invariant de f et des variables (^), . . ., (^), . . . s'exprimera en fonction entière des invariants tels que (œyz)^ (^|^), (Ç'/iÇ), (a^^'^ | ^)^ (a^^^^T)), (a^^^a^^'^ ç), (a^^^ a^^'^a^^^), symétriquement par rapport aux (a^^^); et réciproquement.

156. La signification géométrique des conditions obtenues en égalant à zéro les invariants des types (xyz)^ (^'lO? (^1^)? ^^' évidente.

Le système linéaire S admet aussi des invariants absolus géo-

métriques tels que )ir\ — ' - ? ou ; -^ \\ , •• •• Leur siernili-

cation résultera de ce qui suit.