CHAPITRE H. — LES SYSTEMES LINÉAIRES. l

alignés, c'est-à-dire appartenant à un même élément de seconde espèce (^); soit [x) un cinquième élément de première espèce n'appartenant pas à (^), et considérons les quatre éléments de seconde espèce {ocy)^ {^^)i {^i)i {ocu). Lear rapport anharmoniqiie est égal au rapport anharmonique correspondant des éléments {y)-) (^), {t)^ (u) : en effet, si (y) étant quelconque sur (^), on lui fait correspondre {xy), on met ainsi les deux espaces (œ) t (^) en correspondance homographique : c'est pour ainsi dire jvident, et d'ailleurs on peut remarquer que si les coordonnées de (y) sont (X^ (^ -{- X2(p), (i^) et (^çv) étant deux éléments fixes le (i), celles de (xy) sont précisément ["X^ (œ^^) -f- ).2(^^)]-

Cette correspondance liomograpliique particulière entre les espaces (x) et (^) déterminés par deux éléments d'espèce opposée, ([ui est telle que chaque élément de l'un contient son correspondant dans l'autre, est dite homologie. De ce qui précède on

, . ,,. . -, T (xyt)(xzu) 1

conclut sans peme que 1 invariant absolu — — :- — -r des cinq

séries de variables (^), (y), (^), (^), (u)^ quelconques, est égal au rapport anharmonique des quatre éléments {xy)y {^z), {oùt)^

(xii): de même l'invariant absolu -,^. — , ^ , , est éa^al au rapport

^ ^' (^|JK)('^|^) ^ ^ ^^

anharmonique [xy^^-f]) des deux éléments (^), [y) associés aux éléments de même espèce déterminés par {xy) et (i), (ri) successivement.

Le rapport de deux coordonnées — est égal au rapport anharmonique (^002^3)5 en désignant par O l'élément de coordonnées (i , 1 , i).

15<S. Considérons deux faisceaux différents de même espèce, par exemple Çk\y -\~^'iz) et {ik^t -\~ ^^^u)] ils seront homographiques s'il existe entre les ().) et les ([jl) une relation bilinéaire. Pour simplifier on peut supposer les [\k) égaux aux Çk)^ l'homographie n'étant pas singulière. Alors, si (^) est un élément qui contient deux éléments correspondants des deux faisceaux, on a

Ml\r) - >--(? 1^) = o, M\ 1 1) + Ml \u) = o-

éliminant les ().), on voit que le lieu géométrique de ces

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l66 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

éléments (^) est la série quadratique de seconde espèce

En particularisant les coordonnées, on voit sans peine que cette série se décompose dans l'unique cas où Félément commun à (y^) et à (tu) se correspond à lui-même dans les deux faisceaux ; alors tons les éléments (^) contiennent un élément {x) fixe; on dit que les deux faisceaux sont homoiogiques; ils sont eux-mêmes homologiques à l'espace (x)^ considéré comme rempli par les éléments correspondants (^).

Nous avons énoncé et démontré dans ce paragraphe, d'une façon générale, des théorèmes bien connus de Géométrie ordinaire.

On pourrait aisément retrouver de la même façon les propriétés projectives des transversales dans le triangle, du cpadrilatère complet, des polaires relatives aux angles, des polygones dont les côtés passent par des points donnés, tandis que les sommets se déplacent sur des droites données; etc., etc. Il suffit de donner ces indications; traiter ces questions en détail nous écarterait trop du but poursuivi.

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