I. - Les éléments communs à deux séries

189. Soient deux formes^ à une seule série de variables et de même espèce, /*= cCxP-, g -~ b^v^ définissant deux séries de première espèce, des degrés /> et p' . Ces deux séries ont des éléments communs, que l'on peut déterminer de la façon suivante. Considérons un élément {\) quelconque, et cherchons la condition pour qu'il contienne un élément commun à /et à ^ ,• àe{\\x) == o on tire

portant dans /et g^ puis éliminant x^ et ^3 entre les deux formes binaires par rapport à ces variables ainsi obtenues, on obtient un résultant de degré '^pp' par rapport aux (i), qui, égalé à zéro, exprime la condition cherchée; toutefois cela n'est vrai que si l'on a ^, ;:^o; si ^^:r=ro, les équations entre lesquelles on a éliminé X2 et ^3 contiennent l'une /> fois, l'autre /?' fois le facteur commun i2'^2+i3^3, ^^ d'après un raisonnement connu, le résultant trouvé plus haut contient le facteur ^^^'; si on l'en débarrasse, il reste une forme ^, de deuxième espèce, des degrés pp' ^ p' et p par rapport aux (^), aux [a) et aux (^), dont l'évanouissement est la condition cherchée sans facteur étranger. Il est évident que cette forme y, que nous dirons équivalente à l'ensemble (/, g)^ est décomposable en pp' facteurs linéaires, d'après la façon dont on l'a obtenue.

Les séries/ et g ont donc pp' éléments communs dont y = o est l'équation : ces éléments peuvent être confondus en tout ou en partie; si un même facteur (^ \y) figure q fois dans y, on dit que

l68 LIVRE 11. — LA GÉOiAlÉïRIE TERNAIRE.

(y) est commun q fois à /et à g\ Si y est une forme nalle identiquement, les séries /'et g ont une infinité d'éléments communs : elles sont donc identiques, ou bien l'une des formes/ g au moins est décomposable, et admet l'autre ou un facteur de l'autre en facteur.

La forme y est un invariant, manifestement.

Si l'on a

on voit qu'une fonction symétrique des éléments communs (a^^^) à /'et g^ entière et homogène de même degré 77t par rapport aux divers systèmes (a^^^), s'exprimera comme une fonction entière des coefficients (a) et (b) de /et de g^ des degrés respectifs mp'

et 772p.

160. Supposons la forme / donnée, et regardons les coefficients g de (b) comme variables-, à chaque système de valeurs des (b) correspond un ensemble de /?/>^ éléments (^) communs à/ et à g : nous allons rechercher si ces pp^ éléments peuvent être pris arbitrairement, appartenant à /

Supposons d'' Sihord p'^p] pour définir les éléments communs à / et à g^ nous pouvons remplacer g par g '- A/ h étant une forme quelconque de degré />^ — /j par rapport aux (^); par suite, le système des pp' éléments communs à / et à o- dépend au plus de

paramètres ; ce nombre est égal o^pp' ~ ? de sorte que

le système d'éléments considéré ne dépend que de ce nombre de paramètres au plus, et que -^ au moins de ces éléments sont déterminés par les autres. Il est facile de voir qu'il n'y en a pas davantage 5 en effet, les séries g qui contiennent

pp' — ^ -^ éléments appartenant à/ dépendent linéai-

rement de -^ -^ —pp~t -^ -paramètres homo-

gènes, et, ce nombre étant supérieur a ^— -^"^ -y il eu

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CHAPimE m. — ÉLÉMENTS COMMUNS A DEUX OU PLUSIEURS SÉRIES. 169

résulte que les formes g considérées ne sont pas toutes composées

comme /A; en d'autres termes, elles ne contiennent pas toutes/*

en facteur.

Si l'on a p' <Z P) on voit tout de SLiite que, parmi les pp' éléments

communs a / et a g^ il j en a ^— ^^— ^ — ^- qui sont détermines

parles autres ; ce nombre coïncide avec le précédent pour/>^ = /? — i Ql p' := p — 'l.

161. Soit une série h ~~ c,.y>, de degré jf^ assujettie à contenir les ^/?^ éléments communs à /et h. g] et montrons d'abord que ces conditions sont distinctes dès cjuel'on d-p'^^.p -h p' — 2. Pour cela, il suffit de faire voir que l'on peut trouver une série h de degré p'\ contenant tous les éléments communs à/età^\, sauf un; si celui-ci correspond à ^o = -^3 = o, on peut écrire

./ =^ ^2/2^-^3/3, g- = ^2^2-i- ^■àê'-s,

fi 6t/3, g^ et ^'3 étant des formes des degrés p - - \ , p^ — \ ] alors il est clair que la forme /2 ^'3 — f'^gi-, de degré p H-/?^ — 2, contient tous les éléments communs à/ et à g^ sauf celui mis à part.

Si alors la forme h de degré p" ^ p ^ p' — 2 contient tous les éléments communs à / et g^ formons la combinaison h^-=.h — ffx — ggMf\ ^^ g\ étant des formes de degrés ^'^ — /?', p'^ — p-^ h^ contient comme h tous les éléments communs à / et à g] en disposant convenablement des coefficients arbitraires de /i et g^^ on peut réduire le nombre des paramètres homogènes dont dépend linéairement h^. En faisant attention aux relations qui résultent des identités telles q^ae fg ^=^ gf^ comme au n^ 116, ce nombre se réduit à

le dernier terme étant applicable encore lorsque p'^ est égal à p ~hp^ — i ou à /? i- p' — 2, puisque alors il s'annule.

Le nombre précédent est précisément /?/>^; donc Aj étant assujettie k pp^ conditions distinctes, il faut que cette forme soit nulle

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identiquement. Par suite, Ja forme h est nécessairement une combinaison telle quej^/", -\- gg^.

Ce théorème s'étend au cas où l'on a p^'<^p-\-p' — ^2. Supposons, en effet^ que h de degré quelconque />'^ contienne tous les éléments communs à /* et à g\ il en sera de même de hx^ par exemple^ si donc le théorème est vrai pour le degré p" ^ i, hx^ sera de la forme j^/*, ~\- gg^ ; ff^ ~i- gg^ contenant le facteur x^^ si Ton désigne par cp, cp^, J;, t];,, ce que deviennent les fonctions y, /^ , g^ gi^ quand on y fait Xi^=^o, il faut avoir identiquement cpcp^ + AA, = 0; comme p'^ est inférieur à p ~\- p — 2, ceci entraîne cû, = ^, = 0, et le théorème est démontré évidemment, en supposant toutefois c[ue les formes cp et J; en ^2 et ^.j n'ont pas de racines communes.

Bien entendu, ce théorème n'est vrai que d'une façon générale, si. l'on conserve aux coefficients àe f ei g tout leur degré d'arbitraire.

Si l'on prend p'^ .=1 p -V- p' — 2 — r, la forme f\f-\'g\g i^p" étant au moins égal au plus petit des nombres p el p') con-

1- r • {p — i^){p — 'f^ — i) , {p' — '')(/>' ~ ''-- i) tient linéairement —~^ ^ -h ^^ ^ paramètres homogènes; par suite la condition de contenir tous les éléments communs à /'et kg équivaut pour une série h de degré p'^

kpp' —^ ■ conditions simples : en d'autres termes, dès qu'une

telle série contient/?/»^ — -^ -• des éléments communs à/et à g,

elle contient les autres, en général. Une autre conséquence

du théorème démontré est ceile-ci : si deux séries / et h des degrés/? et /)^^(/);^/?'^) sont telles que pp' {p' '^i^p'^) àe leurs éléments communs appartiennent à la série g^ de degré />^, on peut écrire h ^=^ff^ 4- gg^^ et par suite les p{p" — p') autres éléments communs à/ et A, appartiennent à une série gs de degré p'^ — p' . Enfin, nous remarquerons que toutes les séries de degré p qui

ont ^-^^^^^-^"-^ — 2 éléments communs, ont/?- éléments communs, et par suite forment un faisceau; en effet, si l'une d'elles est fixe, les nouveaux éléments communs à celle-ci et à une autre quelconque sont complètement déterminés par ceux qui sont donnés.

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