CHAPITRE III. — ELEMENTS COMMUNS A DEUX OU PLUSIEURS SERIES

lî. — Le résultant de trois formes. — Le discriminant d'une forme.

162. Soient les trois formes /, g^ h, des degrés p^ p\ p' . Si Jes {aS^^^ sont les éléments communs à /et à g^ formons le produit nA(a>'^); cette fonction symétrique des (a^^^) s'expritnera en fonction entière des coefficients (a) et (5) de /et g^ sera respectivement des degrés /?'/>^^ ]^' P-) PP' V^^ rapport aux coefficients (a), (Z>), (c) des formes/, g, h,

La condition nécessaire ei suffisante pour que les formes/ g, h aient un élément commun est R--0, en appelant R ce produit. R est le résultant des formes /, g^ A; c'est un invariant d'ordre pp' p^' \ c'est un combinant de ces formes, quand elles sont de même degré.

Si h est le produit de deux formes A, et A2, le résultant de /. g, h est le produit du résultant de /, g, /z,, et de celui de/, g^ h^.

On obtiendrait tout aussi bien R en écrivant que /contient un élément commun à g et /z, ou que g contient un élément commun à/et/z.

J63. Considérons l'identité

où/^ , gi , /z, sont des formes des degrés p^ 4- p" — 2, p'^ -f- p — 9.,

Si/, gy h n'ont pas d'éléments communs, et si cette identité est vérifiée, il faut que h^ contienne tous les éléments communs à/ et g; donc h^ est de la forme f/2 — gg2^ f'2 et g^ étant des degrés/)' — 2 et /> — - 2. Comme au n" 118, on en déduit que l'identité proposée résulte simplement des identités telles que y^' = 5/déjà signalées.

D'autre part, si/, g^ h ont au moins un élément commun, on voit de même que l'on peut vérifier l'identité proposée par des valeurs autres que les précédentes.

La condition nécessaire et suffisante pour que/, g^ h aient un élément commun, est donc cj[ue l'on puisse vérifier l'identité

Hosted by

I7'i LIVRE II. — LA GEOMETRIE TERNAIRE.

par des valeurs autres que celles qui se présentent naturellement. En d'autres termes les formes cp

^z"/! xl'-x'^h /, ^7'i ^72 x^'^ s:\ œ1"^ x^f'^ ^'73 h,

OÙ q^-\- q.y-\~ q^^=z p' -{- p'^ — -'2, ..., et qui sont déjà liées par

2i ~ relations linéaires connues, doivent être liées encore

par une nouvelle relation linéaire.

Les formes sont en nombre 2Lk y et con-

1 (p -^ p' -i- p")(p -h p'-+- p"-~i) ^ 1 i-rp'

tiennent chacune ' J-^^^ri — éi n termes : la aiile-

rence entre le nombre précédent et celui-ci est précisément

On prendra donc ~ — IL^-ILhR — P ' ^ des formes cp, et

l'on écrira le déterminant R^ de leurs coefficients, déterminant que l'on peut supposer non nul, par un choix convenable des /'ormes considérées. Ecrivant alors les relations connues entre les formes co, et appelant R2 le déterminant des formes non choisies tout à l'heure dans ces relations, on voit comme au n° 118

que R est précisément le quotient ~ des déterminants Rj et R2?

qui sont respectivement des ordres ^ '

et 5j^"^ ^ nombres dont la différence est Y^p'p'^ .

Observons que si k est une forme donnée quelconque du flegré p -r p' -\- p" — 2, on peut toujours vérifier l'identité

A', étant une constante, et cela en dehors des relations connues entre les formes cp ; alors, on peut évidemment prendre pour k^ le résultant R.

164. Voici d'autres moyens de calculer le résultant des trois formes /, g^ A, analogues à ceux du n"* 65 dans le cas de deux formes binaires.

Supposons les trois formes /, g, h du même degré /?, et

Hosted by