CHAPITRE III. — ELEMENTS COMMUNS A DEUX OU PLUSIEURS SÉRIES. i "H

écinvons-les ainsi

h = hi xP^' -\- /z2 ^Ç- -^ hs xP^' ,

P\^ P^i p^i étant trois entiers positifs dont la somme eslp-\-\i\ cette décomposition est toujours possible, et même de plusieurs façons, dont on choisira Tune arbitrairement.

Il y a ^-^^-~ — - systèmes possibles pour les nombres p\, p2: p^ • considérons alors les ^-^ déterminants tel que

gi §'2 é*"3 I ;

hi h^ As !

on obtient ainsi —^^ formes de degré \ip — 2 qui s'annulent

en même temps que/', g^ h si ces formes ont un élément commun, et si l'on prend (^) pour cet élément.

Adjoignons à ces formes les ^-^ ^ formes des types

oc<hxf-xl^f, x'hx'l'x%'g, x^i^xl'xi'h,

OÙ q\ ^ q2^ ^Ji^^ P — 2, qui sont dans le même cas. Nous avons ainsi en lonl p{'2p — i) formes de degré ip — 1^ et le déterminant de leurs coefficients, d'ordre p{'?^p — i) et de degré total oppar rapport aux coefficients de/, g^ A, est évidemment le résultant R de ces formes.

Autrement, soit J le jacobien des formes /, g^ h\ les degrés de ces formes étant toujours égaux à/>, les dérivées partielles de .1 s'annulent en même temps que /, g, h. Alors on considérera les formes de degré 3/> — 4? en nombre 3(2/?'- — - 5/?-f- 4)? et renfermant chacune 7 (p ~ 0(^P — ^) coefficients

S;' S/ 5^' ^^-V-^L -v-V-fff' ^fo^v^V'^

où Ci -^ q2-i- Ç:i= ^p — 4 ; ces formes sont d'ailleurs liées par

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^-^ '--~ relations linéaires connues. Les égalités

'ii p — i){p ~ 3) 3(/? — [)(3/? — i)

montrent alors qu'on obtient le résultant R sous la forme du quotient de deux déterminants, comme au numéro précédent.

Lorsque les degrés de/, ^, li ne sont pas égaux^ on ramènera ce cas au précédent comme au n" 65; ou introduira ainsi des facteurs étrangers, toujours faciles à déterminer.

On peut encore, dans le cas général, envisager le jacobien J et les formes x\'x1,-xff\ ....... où q^ -h q^-^r q^^=^ p' ~\~ p^' — 3, . . .,

et l'on voit sans peine que l'on obtient encore le résultant comme quotient de deux déterminants.

165. Lorsque trois formes/, g^ h ont leur résultant nu], on peut délerminer le nombre et les coordonnées des éléments communs par des considérations toutes pareilles à celles du n° J]9.

Gomme dans le cas des formes à deux séries de variables binaires, dont Ja théorie a de nombreux points communs avec celle qui nous occupe (et ceci n'a pas Jieu de surprendre, puisque le nombre de variables indépendantes non homogènes est le même dans les deux cas), nous laisserons de côté la détermination directe du nombre des éléments communs à/, g^ h.