LES PROPRIÉTÉS GÉNÉRA.LES DES SÉRIES

î. — Les formes équivalentes.

Les polaires. Les éléments tangents. — Les éléments multiples.

167. Soit une série de première espèce et de degré/?, d'équations/== a^;^^==: o. Si nous cherchons ses élémeats communs avec un élément (^) quelconque, nous savons qu'ils sont en nombre p, et il est facile de former leur équation. En particulier, on peut former l'équation /[— (^2-^2 -F- ^3^^3)7 ^i ^i-, \\ -^aj^o, qui définit les coordonnées — de ces éléments, si Ç^ n'est pas nul.

Ecrivons que, parmi les p éléments communs à /'et à (^), deux au moins sont confondus; à cet effet, nous formerons le discriminant de l'équation précédente, de degré a/;>(/> — i) par rapport aux (^), et nous en supprimerons le facteur étranger évident ^'j'^^ '■. Nous obtiendrons ainsi une forme cp de seconde espèce, de degré />(/? — 1)7 ^(^^^ égalée à zéro, exprime la condition nécessaire et suffisante pour que (i) ait deux éléments communs confondus avec/, co est clairement un invariant d'ordre pi^p — • i), de degré '^p{p — i) par rapport aux coefficients (a) de/.

Nous dirons de cette forme o qu'elle est équivalente à /. Si /* n'est pas irréductible et admet un facteur multiple, la forme ç» est nulle identiquement. Si/ est décomposable en un produit de facteurs linéaires distincts, n(a^'^|^), il est clair que cp est de la forme Mi^rj^i) cfSJ^\y- ,

168. Définissons maintenant l'élément (^) par deux éléments de première espèce (jk) et (-5), de sorte que l'on ait ^/=(j^s)/, et qu'un élément quelconque de (^) soit ( A|JK H- Ao^s). Pour définir

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les éléments commuDs kfel à (^), on aura l'équation

le discriminant de cette forme binaire par rapport aux Çk) s'exprimera à l'aide des (^) et sera la forme cp équivalente k f.

Cette équation nous donne aussi tout de suite la signification géométrique des polaires de /égalées à zéro. Si l'on appelle (V^^^) les racines de cette équation, et si [y) et {z) sont tels que ciyv-h^h-z^r- 0, on a

si alors (^^^^) est l'élément qui, dans l'espace (£), a pour coordonnées (XJ^M, le rapport anharmonique (^yzt^^H^J^) est égal à \ \. ; par suite, la relation précédente peut s'écrire

la sommation étant étendue à toutes les combinaisons (t^^^^),

(t^'^-^), . . ., (t^'ày) des éléments (/^), A à A, et (^^'^), (^^-^), . . ., (t^^'-^) restant fixes. On peut aussi écrire dans les mêmes conditions

L'une ou l'autre de ces équations définit les p — h éléments (y) qui, sur (^), appartiennent à la /^'''"''^ polaire de (z) ; d'après le n^'ôS, ils forment le système polaire d'ordre h de (z) par rapport aux éléments communs à / et à (Ç), dans l'espace (q). En particulier, pour h : = I , on a

pour h ^^ p — \ , on a

169. Supposons que {y) soit un élément déterminé de /*, de sorte que a^p-^o; l'élément quelconque (ç) ou (y^), contenant (jk); a (y) commun avec f une seule fois seulement en général, car on n'a pas ciyv-^z^^- o. Si cette condition est vérifiée, sans l'être quel que soit {^z\ alors (^z) appartient à la (/> — ly^"^^ polaire de (j-)? qui est une série linéaire, ou un élément de seconde espèce ('/^); on voit que cet élément (y)), et lui seul parmi

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