CHAPITRE IV. — LES PROPRIETES GENERALES DES SÉRIES. I

les éléments (?) qui contiennent (y), admet (y) commun avec/ plus d'une fois, et en général deux fois : il est dit tangent kf en {y)i et (y) est son élément de contact.

Cette notion s'étend aux séries linéaires ; en chaque élément (^) d'une telle série (E), Vêlement tangent est (?) lui-même.

170. Généralement, supposons que CLyv-'z-^ • • • , ctyv-h+iz^i-i sont des formes nulles identiquement quel que soit (^), sans qu'il en soit de même de ciyv-h^h^ ce qui exige que les dérivées partielles de l'ordre li — i de / soient toutes nulles pour l'élément (j^), sans qu'il en soit de même pour les dérivées partielles d'ordre h] on dit alors que [y) est un élément multiple cV ordre h de / : tout élément (?) contenant (y) admet (y) h fois au moins commun avec /.

Les éléments particuliers (^), tels que l'on ait ayp-h^h=z o, déterminent des éléments (ri) qui ont plus de h éléments confondus en [y) communs avec /, en général A 4-- i . Ces éléments (v^) sont en nombre h, distincts ou confondus, car ici ciyv-^z^^ se décompose en h facteurs linéaires par rapport à (^), puisque si (^) vérifie Téquation a^p-A^/* == o , il en est de même, d'après ce qui précède, de tout élément appartenant à {yz). Ces éléments (v]) sont encore dits tangents à /en (y).

En général, une série /n'a pas d'éléments multiples ; si, en effet, (y) est un tel élément, les dérivées partielles du premier ordre de /doivent s'annuler pour (j/)^ et réciproquement, si ceci a lieu, (y) est un élément multiple, en général double, pour /. De là résulte la condition nécessaire et suffisante pour que /ait au moins un élément multiple : c'est que son discriminant soit nul.

Les polaires a:^p-Ay.r=:o d'un élément (y) appartenant à/, qui ne disparaissent pas identiquement, admettent cet élément avec le même ordre de multiplicité, et j ont les mêmes éléments tangents. La polaire a^p-^^/.= o d'un élément quelconque (^) admet comme élément multiple d'ordre h — k tout élément multiple (y) d'ordre h de / Ces propositions se démontrent sans peine, par exemple en supposant que l'élément multiple (jk) est 0^ et remarquant que/ prend alors la forme

Aïs. — I. 12

les fi étant des formes en x^ et ^3 de degré marqué par l'indice. Iciy}^=o est l'équation des éléments tangents à /"en 0^.

171. Si deux séries f^=.axv^ g=-bxF ont un élément {y) commun, multiple des ordres h et h' respectivement pour ces deux séries, il compte au moins hh' fois parmi les pp' éléments communs à ces deux séries; il ne compte pas davantage si ces deux séries n'ont pas d'éJément tangent commun en (y) ; il compte au moins hh' -^ q fois, si les éléments tangents en (^y) à /et à ^' coïncident en nombre q.

Pour démontrer ce théorème, supposons que (y) coïncide avec 0^, et écrivons comme tout à l'heure

/=M'-Va

■+fp

g = œP^^gi,

■^Sp'

Si dans ces équations nous remplaçons X\ par -^? et si, entre les

nouvelles équations obtenues, nous éliminons X\ et x\^ nous obtCQOns un résultant R qui n'est pas nul identiquement si /"et g n'ont pas une infinité d'éléments communs, et qui est, d'après les propriétés de poids des résultants, du degré

ou pp' — ■ hh' par rapport à x^ et x^. Aux racines de R ^= o correspondent/?/?^— hh' éléments communs à / et g^ autres que O^ en général, ce qui démontre la première partie du théorème. Si//^ et g h' n'ont pas de racine commune, aucun de ces éléments ne peut coïncider avec Oj, car pour chacun d'eux on a x\ ^o. Mais si fh et g/i' ont q racines communes, distinctes ou confondues, l'équation R r=: o, qui peut s'écrire sous la forme /^F + gh'G^ = O7 évidente d'après la formation du résultant, admet ces q racines, et à chacune d'elles correspond de nouveau O^ comme élément commun à /et à g. Le théorème est ainsi complètement démontré. On voit en même temps comment on pourra déterminer, sans recourir au procédé général du n"^ 159, combien de fois 0^ est cmnmun k f el k g dans tous les cas possibles.

172. Si les deux séries f ei g ont en commun q -\- i fois un élément [y) simple pour chacune d'elles, on dit qu'elles ont

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