EL K EL

dxi dxcy dx^

dxi dx^ dx^

l'une de ces équations étant d'ailleurs une conséquence des autres. Éliminons les [x) entre les équations

'^ ' "^ ' àx2 àX'^ dx^ dx^ '

on obtient un résultant 'F des degrés p'^ip-^p' — 2) et p{'^p' -\- P — 2) par rapport aux coefficients (a) et [b) de / et g] mais si x^ est nul, et seulement dans ce cas, on ne peut rien déduire des équations employées relativement au rap-

df

port — y^; d'ailleurs, si l'on a /= o, «• == o, avec x^ ■=. o, la troi-

dxi sième équation employée est vérifiée d'elle-mêoie, puisque

df df dg' dg

Le résultant T^ contient donc comme facteur étranger le résultant de /(o, ^2j "^3) et ^ (o, x^i ^3), des degrés p' et p par rapport aux (a) et aux (6); en l'enlevant, on obtient la condition cherchée T = o, où T est un invariant des degrés p^ (2 p -^ p^ — 3) et p{ip' -\- p — 3) par rapport aux [a) et aux [b). d'ordre

On voit d'ailleurs que T s'annule aussi dès que f par exemple possède un élément multiple appartenant à g : nous pouvons donc dire que T =^0 est la condition nécessaire et suffisante pour cjue deux des éléments communs kfelkg soient confondus.

173. Si trois séries/, ^', h des degrés /?, p' , p'^ ont en commun un élément (.^), multiple des ordres A, A^ W respectivement, on voit sans peine que la série jacobienne, obtenue en égalant à zéro le jacobien J(/, g.^ A), admet cet élément comme multiple de

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l8o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

l'ordre h -j- h' -^ Ji!' — i au moins ; si y = y7 = y^? l'élément est multiple h + h^ + K^ — i fois au moins ; si l'on a seulement ~ := -p, '

il n'est multiple que h -\- li! ~V- h' — i ibis en général, mais il acbnet les éléments tangents à y comme éléments tangents; etc.

Lorsque p :=p' = /j»'^, on voit encore que la jacobienne est le lieu des éléments doubles des séries \^f-{~ X^g + ^vî^^ = o.