CHA.PITRE 1. — INVARIANTS DES SYSTÈMES BINAIRES

tème s, considérés comme fonctions des éléments de ce système, doivent vérifier un système de/? équations linéaires et homogènes, aux dérivées partielles, formant un système complet ^ puisque ce sont des fonctions arbitraires de P — p quelconques d'entre eux, distincts.

Pour former ces équations aux dérivées partielles, remarquons que toute substitution linéaire a- peut être obtenue en combinant ensemble un certain nombre de substitutions des formes particulières suivantes

00 \ — iX oc Y^

Xi = x^ -

kxL

X2 — m xL

Si, en effet, on a ^22'^ o, en faisant

Xx = x\ +

on a

i Xi = Xii^i -4- Xi2^2,

Si ),22=o, sans que a^ soit nul, on aura des formules analogues en intervertissant les indices i et 2. Si Xh==^>22=o, on est ramené au cas précédent en faisant, par exemple.

( ^1 — Xi2^2'

d'où, en effet,

Xi-=. Xi2^2,

Une condition nécessaire et suffisante pour que F (e) soit un invariant absolu, pour toutes les substitutions o-, est donc que cette fonction ne change pas de valeur quand on fait l'une quelconque des substitutions particulières que nous venons de si-

An. — I. 2

Hosted by

l8 LIVRE I. — LA GEOMETRIE RINAIRE.

gnaler, et que nous écrirons sous la forme

(^ii) __ , (^12)

!0[/ 1 — Ou I • , . , (^22)

a?! = ^\ -h COi2^2)

e désignant la base des logarithmes népériens.

Les substitutions a-/y, i et/ étant fixes, forment un groupe particulier à un seul paramètre, contenu dans le groupe général des substitutions a-; si to^y est infiniment petit, la substitution a- /y est infinitésimale, en ce sens qu'elle modifie les [e) de quantités infiniment petites; le groupe des substitutions cr ne contient évidemment que quatre substitutions infinitésimales indépendantes, qui sont précisément les substitutions infinitésimales a-/y.

Si l'on effectue deux substitutions successives a"/y {^i et y étant fixes), correspondant aux valeurs w/y et to|y du paramètre, la substitution résultante a-/y correspond manifestement à la valeur o>/y+ 0)'.- du paramètre. Soit alors F(e) une fonction des éléments du système S qui, par la première substitution, devient F (e^), S devenant S^; la seconde substitution appliquée à S' conduit à S^^ et ^ {e') devient ¥{e") \ la substitution résultante conduit directement de S à S'' et change F(e) en ¥ {e^'), F(e^) se développe suivant les puissances de co/y sous la forme

F(e')=F(0+Ai.yF(6)^-hA;-}^F(^)-^-l-Ay)F(e)

ij - V-; — -^ ^ij " ^"^ 77^ ^"v •" v^^ I 2.3

les Lfj'F{e) désignant certaines opérations différentielles. On a, par suite, en vertu des observations qui précèdent,

F {e") = ¥(e')-^ Ay^F(e') -^ + A'ffF{e') -^ + A^f F(e')

=.F(6)+Ay.^F(e)-

H^^[Ay^F(e)a.;j + 2Ay)Ay^F(.)co,yco,^+Ay^F(.)<] [A^}^F(.)co;}+3Ay^Ay^F(Oœ/ya)y

-f-3Ai}^Ay^F(e)a)?;a)i;+Aj}^F(e)(o?/]H-.

Hosted by