II. — Les séries tangentielles

174. Gherclions les éléments (;) tangents à/* qui contiennent un élément donné {y)] si [x) est l'élément de contact, on a pour délerminer (^x) les deux équations a^i^ = o, (2^p-i^= o, qui donnent /?(/? — i) solutions. L'équation de ces éléments (ç) est obtenue en égalant à zéro le discriminant de

elle est de la forme

g et h étant des formes des degrés /?(/> — 2) et [p — ^){p — 2), comme l'on, sait; on voit que les éléments communs à /'et aux (^), autres que les éléments de contact, appartiennent à la série h = o, de degré {p — ^){p — 2); d'ailleurs h est le discriminant de

pcixV~'yM~^ + ...-+- ayvV!^'-^ = o,

de sorte que h est de la forme

donc les séries h = o et aa)F-y--==z o sont tangentes aux éléments communs aux deux premières polaires de (y).

Mais les solutions trouvées comme éléments de contact [x) ne sont acceptables, (y) restant arbitraire, qu'autant que (x) n'est pas un élément multiple, et précisément la série a^r-^y^^^ o, qui est la première polaire de (y), contient tous les éléments multiples de / : il faudra donc ôter les solutions correspondantes pour avoir le nombre véritable de solutions proprement dites, nombre qu'on appelle la classe tï de la série f.

Si (y) est un élément ordinaire de /, les deux séries ajcP^= o,

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