CHAPITRE IV. — LES PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES. l8l

a^/;-i^,=: o contiennent (y), et y sont tangentes, d'après ce qui a été dit plus haut; donc {r) compte au moins deux fois comme élément de contact.

i7S. La forme o équivalente à f est de degré p(p — i). Il est évident que, égalée à zéro^ elle représente la série des éléments (^) tangents à/, et en outre les éléments multiples de/, chacun d'eux autant de fois qu'il compte comme commun aux séries a^;'=: o, (^,^,/;-i^ =rr O, (y) rcstaut arbitraire. Si l'on ôte les facteurs qui correspondent dans cp à ces éléments multiples, le degré du facteur restant Oq est la classe tc de /; Oq=:o représente la série des éléments (^) tangents kf.

Cette série cpo peut être traitée comme /"; si (Ç) est un de ses éléments, tangent à /en (y), comme, d'après ce qui a été dit plus haut, (y) et cpo ont (^) commun au moins deux fois, (y) est tangent à 'Dqj et (^) est son élément de contact. La forme /o équivalente à cpo contient donc/, et en outre les éléments multiples de cpQ, ou éléments tangents multiples de/, chacun d'eux autant de fois qu'il compte comme commun à cpo et à la première polaire de l'élément arbitraire ('f]) par rapport à Oq^ le degré de /o est 7û(7ï — i) ; la classe de cpo est p.

176. On voit que les formes / et coo jouent l'une par rapport à l'autre un rôle parfaitement réciproque; chacune des séries ainsi définies est la série des éléments tangents à l'autre. Aussi dironsnous que chacune d'elles est la forme tangentielle de l'autre.

La forme tangentielle c^o d'une forme donnée /ne doit pas être confondue avec sa forme équivalente cp : celle-ci est un invariant de / lorsqu'on laisse aux coefficients de cette forme toute leur g-énéralité, comme nous l'avons toujours fait; la forme tangentielle n'existe, différente de cp, que si les coefficients de /vérifient des relations particulières, et ne peut être regardée comme un invariant de la forme générale/.

Si /n'a aucun élément multiple, cpo n'est autre chose que cp; on a alors iz =. p(^p — i), et par suite la série cpo a nécessairement des éléments multiples, sauf pour /? = 2, car, hors ce cas, on a /;<7-.(r. — i).

ï8a LIVRE II. — LA. GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

Ce qui précède cesse de s'applicjuer dans deux cas : 1° Si /contient des facteurs multiples; alors o est nulle identiquement;

2° Si /contient des facteurs linéaires; si, en effet, / contient l'élément (^), l'élément tangent en (y) sur (?) est (?) lui-même; mais cp = o ne le représente pas, et /o ne le contient pas.

Les éléments inflexionnels. — Les éléments stationnaires.