Si (y) est un élément simple de la série/=o, l'élément

tangent (?), d'équation

f'XyV~'^ '■

: o , n a en £:e

Plierai (^y) commun

a\'ec/que deux fois : mais, en des éléments particuliers, (?) et/ peuvent avoir un contact d'ordre q supérieur à l'unité; il en sera ainsi, d'après le n° 168, si les polaires successives

ax^-yv-- =0? • • • , Clx'lyV-<l = o

contiennent l'élément (?), sans qu'il en soit de même de la suivante.

Lorsque q -^ 2, ce qui est le cas le plus général, nous dirons que l'élément (y) est inflexionnel sur/; l'élément tangent (?) luimême sera dit élément tangent stationnaire pour/; on dit aussi que c'est un élément stationnaire, ou cuspidal, de la série tangentielle cpq. En général, une série /a un nombre limité d'éléments inflexionnels, et n'a pas d'éléments tels que l'ordre du contact de/ avec l'élément tangent soit supérieur à 2.

Voici comment on peut déterminer les éléments inflexionnels : en (jk)j supposé tel, la polaire ax'-yp-^=^o se décompose, d'après ce qui précède, en deux éléments de seconde espèce, et par suite, d'après la théorie des formes quadratiques, exposée plus loin^ on a

^11 àji ày2

ôyiôy^ dyidy^ dyl ày.^ây-.

ôyyOy'^ dy^dys dyl

de sorte que (y) appartient à la hessienne H de /, définie par le hessien de /égalé à zéro.

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