CHAPITRE IV. -— LES PROPRIETES GÉNÉRALES DES SÉRIES. l
Réciproquement, si (y) est un élément simple de /appartenant aussi à H, la polaire axyp--^= o se décompose en deux éléments de seconde espèce, et, d'après ce qui a été dit à la fin du n^ 170, l'un de ces éléments est l'élément tangent (i), qui, par suite, a un contact d'ordre supérieur à l'unité avec /", et en général est stationnaire.
Les éléments inflexionnels de /sont donc les éléments simples de/ communs à /et à H, pour lesquels l'ordre du contact de/ avec l'élément tangent ne dépasse pas 2; ils sont en général en nombre '^ p{p — 2), puisque le hessien de /est de degré 3(/? — 2).
Si ^ = p., le hessien est une constante, qui ne s'annule que dans le cas où /se décompose en facteurs linéaires, comme nous le verrons plus loin.
Si / contient un facteur linéaire à la puissance /r, H contient ce facteur à la puissance 3/f — ^2, au moins, ainsi qu'on le vérifie sans peine.
La série H contient évidemment tous les éléments multiples que peut posséder/; la présence de tels éléments diminue donc le nombre normal des éléments inflexionnels indiqué plus haut.
Si (^) est multiple d'ordre h pour/, il le sera en général d'ordre 3A — 4 pour H, et les éléments tangents à / en [x) le seront aussi à IL
Enfin, nous remarquerons qu'un élément [y) pour lequel l'élément tangent a avec / un contact d'ordre supérieur à deux peut être regardé comme la réunion de plusieurs éléments inflexionnels ordinaires, et aussi qu'on peut concevoir de tels éléments coïncidant avec des éléments multiples de/ : mais nous n'entrerons pas dans les détails relatifs à ces cas exceptionnels.
178. Si {y) est inflexionnel sur/, la première polaire d'un élément quelconque {z)^ appartenant à l'élément (^) tangent à / en {y)^ est elle-même tangente à /en [y), et par suite admet [y) commun avec /deux fois. En effet, les éléments communs à(^)et à la première polaire de {z) forment le premier système polaire de [z) dans l'espace (^) par rapport aux éléments communs à/ et à (E); trois de ces éléments étant confondus en {y)^ il est clair, d'après les propriétés des polaires binaires, que la première polaire de (s) a avec (i) deux éléments confondus en {y). Si, de
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l84 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
plus, (s) vient en (y) et seulement dans ce cas, (y) devient, par le même raisonnement, trois fois commun à la première polaire de (z) et à (^).
Il résulte immédiatement de ce qui précède que (H) est un élément double pour la série tangentielJe cpo de/", et que (y) est l'unique élément tangeut correspondant, admettant (^) commun avec y trois fois.
Ce résultat est d'accord avec ce qui a été dit plus haut sur la diminution du nombre des éléments inflexionnels causée par la présence des éléments multiples^ si, en effet, /n'a pas d'éléments multiples, Oq doit en avoir assez pour n'avoir pas d'éléments inflexionnels qui seraient multiples pour/, contrairement à l'hjpotlièse.
179. Si (jk) est un élément quelconque, sa polaire d'ordre/) — 2, ctx^-yv-- = o, se décompose en éléments linéaires si (^y) appartient à la série bessienne H de /*, et seulement dans ce cas : telle est la signification géométrique générale de l'équation H = o.
Les deux éléments (^) dans lesquels se décompose alors la polaire considérée ont en commun un élément (^), qui,' d'après la théorie des formes quadratiques, est défini par les équations compatibles
la série formée par ces éléments {z) est appelée la série steinérienne S de/.
D'autre part a^p-iz^^o étant l'équation de la première polaire de (^), on voit que l'on peut dire encore que la série S est le lieu des éléments [z) dont les premières polaires ont un élément pouble (^), puisqu'alors celui-ci doit vérifier les équations précédentes; de plus la hessienne H est la série de ces éléments doubles {y).
La série des éléments {yz) est la série cayleyenne de/
Pour yj> =:= 3, les séries H et S coïncident évidemment; (y) et [z) sont dits correspondants sur cette série.
On peut étendre le champ de ces considérations en envisageant encore la série des éléments (^) dans lesquels se décomposent les
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