CHAPITRE IV. — LES PROPRIÉTÉS GENERALES DES SÉRIES. l
polaires ax''hyv-~^^=^ o, lorsque [y) apparlienl à H; la série des éléments (ti) tangents aux polaires ax?-'z^==^^ en [y) lorsque [z) appartient à S ; etc.
IV. — Les singularités ordinaires. — Les formules de Plûcker.
180. Soil f-=axP--^o l'équation d'une série quelconque que nous supposons ne contenir ni séries multiples, ni séries linéaires.
Si nous appelons singularités ordinaires celles qui se rencontrent nécessairement dans une telle série f ou dans la série tangendelle Oq, ce C[ui a été dit nous conduit à considérer quatre espèces de singularités ordinaires pour y*:
a. Un élément double avec éléments tangents distincts;
a. Un élément tangent double avec éléments de contact distincts ;
[3. Un élément inflexionnel ;
b. Un élément cuspidal ou stationnaire ; c'est-à-dire encore un élément double, mais avec un élément tangent unique, qui admet l'élément double en commun avec la série trois fois seulement.
D'ailleurs, pour préciser encore davantage, nous supposerons, dans les cas [a) et (a), que de même chacun des éléments tangents en l'élément double admet celui-ci commun avec la série trois fois seulement.
Les singularités des espèces (r^), (a), (5), (P) sont respectivement les singularités des espèces (a), (a), ([3), {b) pour la série tangentielle cp^.
Si nous supposons que f n'admet que des singularités ordinaires, et que les nombres de ces singularités soient respectivement d^ S, r, p pour les quatre espèces {a), (a), (6), ([3), on peut facilement trouver des relations entre ces nombres, le degré p de y, et le degré tï de Oq qui est aussi la classe de/*.
181. On sait que la classe de/*, qui serait /?(/? — i) si /n'avait aucun élément double, n'est diminuée que par le fait de ces éléments doubles. Quelle est l'influence de ces éléments doubles? Considérons d'abord un élément double à éléments tangents dis-
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l86 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
tincts; en le choisissant pour 0^ et prenant les éléments tangents pour O2 et O3, on peut écrire
fi étant une forme de degré i par rapport aux variables x^ et x^,. La première polaire de l'élément (j/) quelconque peut alors s'écrire
( .73 ^2 -^ 72 ^3 ) ^^"2 + 37^/-=^ ^2 -^ • . . -^ gp-\ = O,
les ^/ étant analogues aux//. Elle a en Oi un élément simple, l'élément tangent étant distinct des éléments Q2 et Q3 tangents en O^ à/": on voit même qu'il est conjugué harmonique de O^y par rapport à Q^ et Q3. Par suite, 0^ est commun à / et à cette polaire deux fois setilement, et chaque élément analogue à O^ diminue la classe de deux unités.
Supposons maintenant que f admette en 0^ un élément cuspidal^ l'élément tangent étant pris pour O3, on a
et dans /s, le coefficient de xl n'est pas nul, puisque Q3 doit avoir 0^ commun avec /trois fois seulement.
La première polaire de (y) est ici
elle admet O^ comme élément simple, avec même élément tangent que/; par suite Oj est commun trois fois au moins à/ et à cette polaire : il ne l'est pas davantage, comme on le voit sur le cas particulier très simple
jr = ^2 -^i ~^ cioc -^'^
donc tout élément analogue à 0\ diminue la classe de trois unités.
Évaluons de même la diminution produite dans le nombre des éléments inflexionnels de /par les éléments doubles.
Prenons les mêmes notations que ci-dessus; pour un élément double ordinaire, situé en O^, la hessienne s'écrit
elle admet O^ comme élément double avec les mêmes éléments tangents que/; donc 0^ est commun six fois au moins à /et à H.
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