De ce qui précède résultent les relations immédiates

Tir=p(p — -i) — ici — 3r, p = 3p{p — 2) — 6d — 8/', et de même

l'une ou l'autre de ces dernières formules donne encore

2Sz=^(^ — 2)(/?'^ — 9) — 46^(/?'-^— /?— 5)— 3r(2/>2-.2/) — 9)-^(2^-l-3r)-.:

on aurait de même '2d en fonction de tt, S et p. On peut écrire aussi cette dernière formule

— 3r(7T — 3)~'2d(d-~i)-~6dr— ^r(r-^\),

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l88 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

et, SOUS cette forme, on pourrait l'obtenir directement : en effet, d'après ce qui sera dit au n^ 198, si (i=:=: r =: o, on trouve

si maintenant d et /' ne sont pas nuls, il faut supprimer les solutions qui correspondent aux éléments tangents menés par les éléments multiples et aux éléments qui contiennent deux éléments multiples : on arrive alors sans peine à la formule ci-dessus.

Telles sont \es formules de Pluckei% reliant les nombres/), <:/, r, 7c, S, p ; elles sont indépendantes au nombre de trois seulement.

On remarquera les relations

(/? -4-i)(/; H-'2) , (tt -^i)(7r -^ 2)

-^ ^AJ L — ^/ — ir = 0—10,

1 Ci

dont la seconde exprime que les séries/ et cpo dépendent d'autant de paramètres indépendants, et surtout celle-ci

(/? — i)(p — a) j (tt — t)(tt — 9.)

le nombre g est le genre des séries /et o^.

Il est facile de voir que g n'est pas négatif, c'est-à-dire que

a + r n est pas supérieur a ~ --' -i si toutetois la série /

ne se décompose pas en séries de degré inférieur. Si, en effet,

f avait ^ -^ V- 1 éléments doubles, prenons une série h

contenant tous ces éléments et qui soit de degré /> — 2; cette série pourra encore être assujettie à contenir yj> — 3 éléments arbitraires de f, car

j I __ ij — j — — j

1 r 7 r(P l)(P — '^) 1 OM.

alors / et li ont en commun 2 — h i +/> — o cléments au moins; ce nombre est égal kp(p — 2)+ i • donc il faut que / et h aient une infinité d'éléments communs et, par suite, qiie f se décompose.

Remarquons que si d=^ o^ on ne peut avoir, sauf pour/? = 3

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