CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTEMES BINAIRES

on a aussi directement

,,, (Jû// H- CD//

on en déduit, par comparaison, que les opérations A[y^F(^) vérifient les conditions

Ay^F(o-AiyAy^Ay^F(o,

Alors nous écrirons simplement

F(e') - F(0+ A/yF(6) ^" + AfyF(^) ^ + A^F(.) ^ -^ . . . ,

OÙ l'exposant de la caractéristique A indique la réitération de l'opération correspondante.

Gomme conséquence particulière de ces importantes formules, nous voyons qu'une condition nécessaire et suffisante, pour que F(e) soit un invariant absolu à l'égard de toutes les substitutions a-, est que cette fonction vérifie les quatre équations

AiiF(e) = o, \i^F(e)=o, ^2i^(e)=o, ^,^^F{e)=o. 21. Calculons les ^ijF(e). La substitution g-,, donne d'abord

'puP-2;quq.;.'-;^u'^-ï,9^,p^^...== e^^'^'^''''"'~'^'~'^'~-^'^''^Pi,pï,quqï,---;T^i,Ti.;9u9, -■■>

On a, par suite, immédiatement

dF

-^ {Pi-^ q 1 ^ " ' — T^ï — P i — • ") cipuPi;...;^^,^^,

^^PuPi;—',T^i>'^i;

On a de même

-l-(i?2-i-^2+.-.— ^2 — p2— ...)^/^„;^.;...;7ri,7r,;...^

'/?i,yf?2;.--;7ri.'^î;.

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La substitution a•^2 donne maintenant

= <^/?i,P2;<7t,^2;...;7ri,7iî;p,,p2;...+ ^12 [/'s ^Pi+l,pi—i;qi,q-2;...;Tii,'iz.;pi,p.;...-^-"

dans cette dernière formule, nous avons négligé les puissances de co^oj autres que la première.

On en déduit

r. ^ àF , dF

dF ^

lP2^Pi+i,p->-i;

^^Pi,p-2'>-- •','T!:i,'^'2',-

On a de même

^F dF

'^1 <^y^i,/?2; • • ■ ITT]— i,7r,-,.+i; .

d(^Pi,p<i;..-;'K^,'K.2

■ — T^2^pi,p.2;. . .;7Zi-hl;'K.2—i;. . . — . . .J -r-. • . .

22. D'après ce qui a été dit antérieurement, les quatre équations linéaires et homogènes aux dérivées partielles

se réduisent à p distinctes, qui forment un système complet, et qui admettent? — p solutions rationnelles distinctes. En fait, on vérifie facilement les identités suivantes

Ali A22F — A22A11F — G,

A12A21F — A21A12F .= AiiF — A22F,

Ail Al 2 F — A12 AiiF -- A12F,

Ail A21F — A21 AiiF — — A21F,

qui expriment que les p équations distinctes parmi les équations A/yF == o forment un système complet.

On peut remarquer que p est toujours égal à 4 dès que le système contient deux séries de variables de même espèce.

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