CHAPITRE V. — GÉNÉRATIOTS'S DIVERSES DES SÉRIES TERNAIRES. I

communes est que l'on puisse vérifier l'identité

^ j , par exemple, étant un polynôme analogue à y^, et des degrés

par rapport aux (^), (y), . • •; de plus cette identité devra être vérifiée par des solutions autres que celles qui se présentent naturellement, et qui résultent des relations telles (j^ç,f^f^ — f^f^-==:o^ où les seconds facteurs sont supposés développés. .Les premiers membres de ces relations sont eux-mêmes liés par des relations du second ordre telles que

et ainsi de suite.

Ceci posé, on voit que l'on est amené à écrire que des formes telles que

OÙ

ai-f-a2-f . . . = /?2+/'3-i-- • '^-Pn— ^i-^i, • ",

sont liées par une relation linéaire, indépendante des relations du premier ordre citées plus haut.

Le nombre de ces formes est

Ni = 2 p^ {P2-^P3^'-- -^Pii) {P2 -f- /?3 ^- • • • -^Pii— i) . • . (7^2 4- /)3 -^ . . . -^p,i — iH -4- ^)

le nombre de termes distincts dans chacune d'elles est

elles sont liées par des relations du premier ordre en nombre

N2= V P"^ (i^3+i>4-^-- "-^P,l){pz-^Pk-^" .^r-pn—^)- ■ ■ (/?3 + ^4 H" • . • -4-/?;, — 7^l H- 2)

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les premiers membres de ces relations sont liés par clés relations du second ordre en nombre :

Pn-

ni-T~ 'i)

>»B r/2j — 1 X -5 (^4-t- qo-^-- •+^,i)(^4-i-^5 + - - .-T-^/i— i). . .(^4.-t- gs^- • --^qn— n,-\-'i)

et ainsi de suite, jusqu'à des relations de l'ordre n — ^ 2, en nombre

qni.qn — 'i) ■ "iqn—fh"'-'^)

on vérifie sans peine que l'on a

alors la condition cherchée se présente sous la forme

D étant un déterminant d^ordre N tiré des N^ formes obtenues; D| étant un déterminant d'ordre N, — N tiré des relations du premier ordre; D2 étant un déterminant d'ordre No — N,-hN tiré des relations du second ordre; et ainsi de suite.

Les coefficients des formes et des relations sont linéaires par rapport aux coefficients des formes données; le degré du résultant R par rapport à ces coefficients sera donc

N — (Ni— N)-]-(N2— Ni-hN) — ...,

ou bien, en faisant le calcul,

chaque terme renfermant n — i facteurs d'indices dilTérents, dont /li — ■ I sont des /?/.

Par rapport aux coefficients de /\ par exemple, on voit sans peine que le résultant R est d'un degré égal à la partie de la somme précédente qui ne contient aucun des nombres/?,, ^^, ri, ....