CHAPITRE V, — GÉNÉRATIONS DIVERSES DES SÉRIES TERNAIRES. IQo

Ce degré est évidemment le nombre des solutions des équations

h = o, fs-=o, ..., f,i^o\

car le résultant est à un facteur numérique près le produit des valeurs de f\ pour les solutions des équations précédentes.

On exprimera que parmi les systèmes de solutions communes ày2 = o, /3 = o, . . , , //^ = o, il j en ^ qui appartiennent à /f = o, comme nous l'avons fait dans les cas particuliers déjà traités; et l'on pourra calculer ces solutions communes d'une façon toute pareille.

Ajoutons qu'un système de solutions de y2 = o,/3 = o, ..., ff^ z= o, sera multiple, et en général double, si tous les déterminants d'ordre n — i , tirés de la matrice

àf^

àh

àf.

àxx

dXi

àXn,

àyi

àfn.

àz,

dx-^

dx.

àx,,^

àf.

àyn.

àj.

àf.

àfn

dxi

dx2

dXn,

ày\

àfn.

àz,

àz,„

sont nuls pour ce système de solutions.

Enfin remarquons que le résultant R est un invariant multiple qui, relativement au groupe des [x) par exemple, est d'ordre

^/^l7^2 • • 'Pn,qn,-^iqn,\

• qn,^

-i^^ni+fiç,^ni-hn.2-i-] • • • ^n^-ï-n^-r-n^-

chaque terme renfermant 7i facteurs d'indices différents, dont /2, sont des Pi.