II. — Les séries rationnelles

184. Au lieu de définir une série par une équation y= o, il arrive souvent qu'on la détermine d'une façon différente, plus ou moins simple. Nous allons passer en revue quelques-unes des plus importantes de ces représentations nouvelles.

On peut supposer que les coordonnées d'un élément variable (x) sont exprimées en fonction de deux paramètres 1, , ^.o? homogènes, comme formes de même degré p par rapport à ces paramètres. An. — I. i3

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](ji LIVRE II. — LA GEOMETRIE TERNAIRE.

On a ainsi

p étant im paramètre d'homogénéité, et les // étant des formes de degré/j par rapport aux (à).

Il est clair alors que, si les (à) varient, l'élément (œ) décrit une série/, ternaire, qui est dite rationnelle.

Le degré de la série /est p\ car Pélément quelconque (i) a, avec/, p éléments communs définis par l'équation

Nous supposons ici que les/- n'ont pas de facteur commun, de sorte qu'à tout système de valeur des (X) correspond un élément (^) déterminé; nous supposons en outre qu'il n'existe pas d'uQC façon constante plusieurs systèmes de valeurs des (à) définissant le même élément (^) : sous ces conditions, la série / est indécomposable. Son équation s'obtient en éliminant les (a) entre

les équations

à cet effet, on éliminera les (X) entre les équations

par exemple, et l'on supprimera dans le résultant obtenu le facteur évident x^^.

On peut encore obtenir l'équation de / sous forme de déterminant en éliminant linéairement les quantités telles que V^'Vf~P'''^ et pA/jO.(;~^''~^ entre les équations de la forme

9x^VlO.^^-P^-' ^. XPO.P-P^-'f^:{lu >^2), en nombre 3/j>, comme les quantités à éliminer.

I80. Les éléments communs à /et à (q) sont donnés par

si donc (ç) est tangent à / en (^), correspondant à (X), ou, pour abréger, tangent en (X), cette équation a une racine double, de