CHAPITRE V. — GÉNÉRATIONS DIVERSES DES SÉRIES TERNAIRES- IQS
sorte que
dfz
on a donc, pour définir la série tangenlielle Ço de /, les formules
rJA2 d'ki
Si un couple de valeurs Çk) annale les trois seconds membres de ces formules, tout élément (i) contenant (X) admet cet élément commun deux fois avec/; (\) est donc double sur f, et J'élément tangent est défini par les équations compatibles
*Sf--
()v) est donc, en restant dans le cas le plus général, un élément cuspidal de /.
Supposons que les valeurs des p^/ admettent ainsi r facteurs communs; en supprimant ces facteurs, on voit que le degré de Oq^ c'est-à-dire la classe de/, est 2(p — i) — r.
Les éléments inflexionnels de / sont définis par la condition que (i) aitCX) trois fois commun avec/ c'est-à-dire par l'équation
ils sont donc, en général, en nombre 3(/? — 2); mais si / admet, comme précédemment, un élément stationnaire (a), il est facile de voir que Çk) est racine double de l'équation précédente ; celle-ci
àll
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dXi
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196 LIVnE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
peut s'écrire en effet, au facteur Ij fo'^ près,
àj\ df, àj,
dli ôKi dl-i = o,
àjA d^A d^fs
c)Xf d\l dll
et il suffit alors de prendre la dérivée du premier membre par rapport à Aj pour vérifier la proposition annoncée.
Si donc /admet r éléments stationnaires, le nombre p de ses éléments inflexionnels est 3(/> — 2) — ar.
lia série / admet aussi des éléments doubles à éléments tangents distincts; pour les déterminer, il faut chercher les couples ()^), (V) qui donnent aux (x) des valeurs proportionnelles. On a donc à résoudre les équations
fiiK,^) Â{K,KJ fsiK^K)'
les// restant arbitraires, il faut d'ailleurs supposer (XV) ^ o. Éliminons les (V) entre les équations entières
fia)Aa')-Aa')Aa)
