De même, on peut définir/ par les équations

/,(^i, ^2, 373; Xi, X2, Xs)^ o (i = i, 2, 3), des degrés respectifs pi et c/i par rapport aux (^) et aux (1). La série /est de degré S/?, ^2^3-

L'équation de l'élément tangent (^) à / en (x) correspondant aux valeurs Çk) des paramètres est, comme au n'^ 187, obtenue en égalant à zéro l'un des déterminants de la matrice

àx\

X, '^•^ + x, '^à Vi i^A ih

" àx=i ' . àx-^ âXi 0X2 àl-s

dxi ' ^ dx^

àf.

dx^

^ àj\ dj\ dj\ èj^

^ dx-, à\x dki d\:i

àf, àf, df, ôf.

dxi ' ^^'' dx.2 ' ^'' c)x; dl^ dl. dl^ En général, la série /n'a pas d'éléments cuspidaux. Elle a des éléments doubles ordinaires, que l'on détermine en écrivant que les équations /•==: o, où les ().) sont les inconnues, ont deux systèmes de solutions communes. En raisonnant comme au n° 187, on trouve que le nombre des éléments doubles de /est

Pt

-P^PS (^1^2— l)(^1^3~ 0-

On remarquera que, si Ton éliminait les (^) entre les équations /■— o, on serait conduit à une série cp('X) = o, qui correspond à la série/, élément à élément. Son degré serait S ^,/>2/J>3> et le nombre de ses éléments doubles

Le genre des séries /et o est par suite le même et égal à

-pigiiPiq-i-h- psq^)-

qiP2P3--'

C'est encore là un théorème toujours vrai.

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