IV. — Les invariants

23. Si F(e) est un invariant absolu, rationnel et non entier, il

pourra se mettre sous la forme d'une fraction irréductible ■,. ,^s

les fonctions F^ et F2 étant entières et n'étant pas, sauf exception, des invariants absolus.

On a, par hypothèse,

F^ (^^) et ¥2(6^) sont encore des fonctions entières des (e) c[uand on y remplace les (e^) par leurs valeurs en fonction des (e) et des (X); par suite, d'après les hypothèses faites, on a nécessairement

Fi(e') = coFi(e), F.^{e')==i^^¥^{e\

co étant une fonction qui ne dépend que des (X).

On est ainsi conduit à rechercher, d'une façon plus générale, toutes les fonctions F(^) telles que l'on ait

F{e') = wF(e),

iù ne dépendant que des ()^). Ces fonctions sont les invariants du sjstème S; elles comprennent en particulier les invariants absolus, qui correspondent à co =: i.

Gomme précédemment, une condition nécessaire et suffisante pour que F(^) soit un invariant du système S est qu'il en soit ainsi pour les substitutions o-^/. Par suite, à cause de la formule

F(e')= F(6)+ o3o-^/yF(^)H- ^ Af,F(6)H-. - .. il faut et il suffit que l'on ait

A/yF(e).^ \MjF{e)\

)xij ne peut dépendre que de co^y et par suite est une constante, puisque A/yF(e) et F(^) sont indépendants de iùtj. En se servant des valeurs données ci-dessus pour les expressions de la

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forme A/y A/^^^F — A^A^/yF, on trouve immédiatement

jjL étant une constante quelconque.

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que F(é^) soit un invariant sont donc que F vérifie les quatre équations linéaires aux dérivées partielles

AhF-:(jlF, Ai2Fr=:0, A21 F =- O, L^,¥ =^ ^J^Y .

On voit en outre que pour les diverses substitutions a■^^J a■^2, ^2n ^22j on a respectivement

Si donc on décompose la substitution a-, quelconque, en substitutions <Jij^ comme nous l'avons fait plus haut, il vient

de sorte que la fonction co par laquelle se multiplie F(e) quand on passe des {e) aux [e^) est une puissance du déterminant S de la substitution cr.

Quand l'identité précédente a lieu, on dit que F(e) est un invariant di ordre [a; les invariants absolus sont d'ordre zéro.

24. Pour trouver un invariant F d'ordre ]x différent de zéro, il suffit d'égaler à zéro une solution quelconque des quatre équations linéaires et homogènes aux dérivées partielles

Aucp + {xF ^ ==0, Ai29=o, A2icp = o, A22CP -f- p.F ^ == o;

supposons que ces équations se réduisent à q distinctes, qui forment nécessairement un système complet; on a q"^^] il est clair aussi que q est égal k p ou à/> + i .

Si q zz^p + I , cela veut dire que les équations entraînent -ï = o ;

il n'y a pas d'invariants d'ordre [Ji. Le système n'a d'autres invariants que ses invariants absolus.

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