Les enveloppées peuvent être définies par une équation

f{xi, x^, xs; X., X2, X3) = 0,

des degrés p et q par rapport aux (^) et aux (X), ces dernières variables étant liées par une relation cp(Xi, Ao, ^3) = 0, de degré ^'^ Alors on trouvera l'enveloppe g des séries données en écrivant que les séries en (X), /(^, ')\) = o, ^Ç^) = o, sont tangentes ; g sera par suite du degré pq\iq -j- ^'— 3).

Les propriétés indiquées précédemment subsistent entièrement. Si, par exemple, on cherche l'enveloppe des éléments tangents à une série donnée de degré/?, dont les éléments (y) sont définis par

on a pour l'équation d'une enveloppée

àf , àf df

^Jl ^72 4/3

et l'enveloppe est de degré p{^p — o) = p -^ ^p{p ^~ 2) • ^lle se compose de la série donnée et de ses éléments tangents stationnaires.

Les singularités d'une enveloppe définie comme nous venons de le dire sont encore faciles à déterminer dans le cas le plus général. L'enveloppe g aura un élément cuspidal si les séries f{x^ )v)=o et '^Çk) = 0, en (X), sont osculatrices, c'est-à-dire ont un élément commun triple; de même g aura un élément double ordinaire si les mêmes séries/(.r, X) = o etcp(À)=:o sont tangentes en deux, éléments distincts. Ces problèmes sont résolus plus loin d'une façon plus générale.

On remarquera que l'enveloppe g peut encore être interprétée comme le lieu des [x) tels que les séries /(^, A)=zoet cp().) = o, en (1) soient tangentes, ce qui peut mener souvent à des applications intéressantes.